第三章-3.4-第2课时

2023/12/27第三章3.4第2课时学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点用基本不等式求最值思考因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2.以上说法对吗？为什么？答案错.显然(x2＋1)min＝1.x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号.仅说明曲线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点.使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.梳理基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是

；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为

；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为

；(3)等号成立的条件是否满足.正数定值定值[思考辨析判断正误]×√题型探究类型一基本不等式与最值解答解答解答解∵x>2，∴x－2>0，即x＝4时，等号成立.解答即x＝4，y＝12时，上式取等号.故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.解答∴f(x)的最小值为12.解答解∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)的最大值为－1.类型二基本不等式在实际问题中的应用解答命题角度1几何问题的最值例2

(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y)m.当且仅当x＝y＝10时等号成立.所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.解答(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.当且仅当x＝y＝9时，等号成立.所以这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪训练2以斜边为2的直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周得一几何体，求该几何体体积的最大值，并求此时几何体的表面积.解答解如图，设Rt△ABC的斜边AB＝2，AC＝b，BC＝a，CD为斜边上的高，由a2＋b2＝4与a2＋b2≥2ab得此时该几何体的表面积为S＝π·CD·AC＋π·CD·BC＝π·CD·(AC＋BC)命题角度2生活中的最优化问题例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解答解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y元，所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少.引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解答解设x1，x2∈[15，＋∞)，且x1<x2.∵15≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2＞225，∴当x＝15，即每15天购买一次面粉时，平均每天支付的费用最少.反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.答案解析8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.达标检测√答案1234解析答案解析12342.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m√因为要求够用且浪费最少，故选C.1234答案解析√解析由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.1234答案解析即(log2x)2＝5，即x＝

时，等号成立.解析当0<x<1时，log2x<0，1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；