一题多解,一题多变多题归一

三明四中吕元斤一题多解,一题多变，多题归一解题思路分析原题再现考点分析及其思想方法的体现

反思与感悟拓展延伸、变式分析课堂流程原题再现本题是2013年孝感市中考数学试卷第25题：25.如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．1.考点分析：正方形的性质；等腰直角三角形的判定与性质；角平分线的定义；等角的余角相等；全等三角形的判定与性质；点的坐标与线段的关系；抛物线上点的坐标与二次函数表达式的关系；一元二次方程的解法.一、题目的考点分析及其思想方法的体现2.思想方法：特殊到一般；方程与函数；转化（化归）；数形结合.1.题型:代数与几何综合题二、解题思路的分析2.解题思路分析（1）△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以取AB的中点G，连接EG，又易知∠1=∠2，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等；（1）解答:如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE与△ECF全等．（2）第①问的方法1解题思路分析：从第（1）问的解决方法得到启发：“证线段相等找全等三角形”.如图2，可以在AB上截取AM=EC，又易知∠2=∠3，证明∠1=∠ECF=135°，利用ASA证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；图2方法1的解题过程：①若点E在线段BC上滑动时，AE=EF总成立．证明：如图2，在AB上截取AM=EC．∵AB=BC，∴BM=BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠1=180°﹣45°=135°，又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠1=∠ECF．而∠2+∠AEB=∠3+∠AEB=90°，∴∠2=∠3，∴△AME≌△ECF．∴AE=EF．图2第（2）题第①问的法2思路分析图4图4第（2）题第①问的法2解题过程第（2）题第①问的法3思路分析图5第（2）题第①问的法3解题过程图5第（2）题第①问的法4思路分析图6第（2）题第①问的法4解题过程图6第（2）题第②问的解题思路分析图3第（2）题第②问的解题过程图31.结论的拓展延伸变式一：如图，若点E在线段BC延长线上（除C点外）上滑动，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．三.拓展延伸与变式分析本变式的意图是引导学生继续探究点E在线段BC延长线上（除C点外）上滑动时，结论“AE=EF”是否仍然成立.认真观察图形，与原题的解法进行类比，在点E运动中,可以构造全等三角形，寻找线段之间不变的数量关系.变式一分析变式一解题过程变式二变式二分析本变式继续引导学生认真观察图形，对△ECF的面积和线段BE的关系进行探究，渗透分类讨论、转化、数形结合、函数的数学思想方法.解题的关键在于分类讨论即：当点E为线段BC上的点时，EC=1-x;当点E为线段BC延长线上的点时，EC=x-1;变式二解题过程变式三：如图，已知点E在正方形ABCD的边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，则线段CF和BE之间存在怎样的数量关系，给出你的结论并证明．（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合），（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出线段CF和BE的关系式.图1图2本变式继续引导学生认真观察图形，对线段CF和BE之间的数量关系进行探究，渗透特殊到一般、转化、数形结合的数学思想方法.解题的关键在于：将线段CF和BE分别转化为等腰直角三角形（Rt△FCH)的斜边和直角边.变式三分析图3变式三解题过程图3图42.图形的变化拓展变式分析本变式的设计意图是通过图形变换，引导学生深入挖掘隐含的条件和结论，明白构造全等三角形是证明线段相等一种很重要的方法，从特殊的几何图形中找出规律，转化为一般的几何图形的证明问题，即虽然其条件、结论的形式或图形发生变化，而其本质特征却不变.解题过程四、反思与感悟数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫.为了使学生能跳出题海，数学教师要跳进“题海”，要勤于钻研数学课程标准、教材和习题，依据“量不在多，典型就行；题不在难，有思想就灵”的原则精挑细选出典型题目.并对典型题目进行纵向或横向的展开，根据学情，精心设计数学探究活动，进行“一题多解,一题多变，多题归一”的解题教学.既要引导学生从各个角度去分析思考问题，发展学生的求异思维，使其创造性地解决问题，又要指导学生善于找出一些题目解法的共性，归纳出解题方法，再用这种方法去解决类似问题时，便会迎刃而解，发挥一法解多题的优势.既要关注学生的基础知识、基本技能的达成，更要关注基本数学思想方法的渗透和基本活动经验的积累，教会学生如何