matlab高等工程数学作业实践报告

目录非线性方程求根的数值解法房贷年利率………12.线性方程组的数值解法配置指定成分合金………………33.估计与检验铝合金板的批次检验……………84插值与拟合算法晶粒尺寸与退火时间的关系…10回归分析镁合金析氢与时间关系………14数值积分法人口统计模型…………………17x0=0.2x1=x0-(420*x0*(1+x0)^20-60*((1+x0)^20-1))/(420*(1+x0)^20+8400*x0*(1+x0)^19-1200*(1+x0)^19);n=1;while(abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(n<=100)x0=x1;x1=x0-(420*x0*(1+x0)^20-60*((1+x0)^20-1))/(420*(1+x0)^20+8400*x0*(1+x0)^19-1200*(1+x0)^19);n=n+1;endx1NMATLAB程序截图计算结果与分析由计算结果可以看出，Newton迭代收敛速度很快，仅通过7次计算便得到了所需进度的近似解。

2．线性方程组的数值解法……………配置指定成分合金问题描述先要求配置某种合金，其成分为Al-Hg-Ge-Pb，要求利用已有的Al-Hg-Ge-Pb合金、Al-Hg-Ge合金、Al-Pb合金和纯Al配置。其原料成分和目标成分要求如下表：元素中间合金（wt%）目标合金（wt%)Al-Hg-Ge-PbAl-Hg-GeAl-PbAl40805067Hg3010\15Ge1510\8Pb15\5010若现在欲配置100kg目标成分的Al-Hg-Ge-Pb合金，需要准备多少上述中间合金。(2)建立模型为了搭配合理，我们假设3种不同的中间合金的质量分别为x1、x2、x3，纯Al的质量为x4，单位为kg。得到如下方程组：0.4x1+0.8x2+0.5x3+x4=670.3x1+0.1x2=150.15x1+0.1x2=80.15x1+0.5x3=10将上面的方程组写成矩阵的形式为：aX=b其中，，，模型假设：以上数据真实有效由此该问题的模型可以建立如下：可见解上述问题就需要对上面这个线性方程组进行求解。算法选择在此选择的算法为Jacobi迭代算法，同时与矩阵直接除法即精确解做对比。Jacobi迭代公式为：计算流程与MATLAB程序%Jacobi迭代法x0=[0,0,0,0];x1=[1,1,1,1];i=1;whilenorm(x1-x0)>=0.001&&i<100x0=x1;x1(1)=1/0.3*(-0.1*x0(2)+15);x1(2)=1/0.1*(-0.15*x0(1)+8);x1(3)=1/0.5*(-0.15*x0(1)+10);x1(4)=1/1*(-0.4*x0(1)-0.8*x0(2)-0.5*x0(3)+67);i=i+1;endx1i%直接除法a=[0.40.80.510.30.1000.150.1000.1500.50];b=[6715810]’;x=a\bMATLAB程序截图：计算结果与分析由结果可见，经过37次迭代，Jacobi迭代法产生了足够精确的结果（误差小于0.001）。与精确解对比，已经足以完成原先的合金配置要求。同时为了确保Jacobi迭代矩阵的收敛，在编程的时候将方程组中的各方程顺序做了适当的调整。

3.估计与检验……………产品的合格检验问题描述因工作需要，某厂购买了两批铝合金板。为了确保最终产品尺寸稳定，需要确保两批板材厚度差异不大。现分别在从两批板材中各抽取10块铝合金板作为样本，分别命名为A组和B组。A：30.4，30.2，30.1，29.9，29.7，30.1，30.4，30.0，29.6，29.5B：29.9，30.3，30.1，30.1，29.5，29.8，30.0，30.2，29.5，30.2问两批铝合金板厚度是否相同。建立模型做出以下假设：两个样本相互独立。A、B两样本数据分别来自正态分布总体，且样本方差相同，记为N(μ1，σ2）N(μ2，σ2）,μ1、μ2、σ2均未知。取α=0.05算法选择解题分析如下：假设：H0：μ1=μ2H1：μ1≠μ2由于σ1=σ2=σ未知，选取统计量为其拒绝域为计算流程与MATLAB程序x=[30.430.230.129.929.730.130.430.029.629.5];y=[29.930.330.130.129.529.830.030.229.530.2];[H,sig,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1)H=0sig=0.5874ci=-Inf0.2621MATLAB程序截图:(5)计算结果与分析由MATLAB计算所得：H=0，即可认为在置信区间α=0.05的显著水平下，假设成立。所以可以得出结论，及两批铝合金板厚度一致。4.插值与拟合算法……………晶粒尺寸与退火时间的关系问题描述对于金属材料而言，晶粒尺寸决定了材料的诸多性能，所以在实验中我们往往希望得到预期的晶粒尺寸。而对变形铝合金而言，晶粒尺寸又与加工后的退火时间有着密切的关系。现在通过实验测得某种铝合金经过一定量的形变后置于460℃下退火，测得不同退货时间的晶粒尺寸如下表时间（h）0.511.523456尺寸（μm）53102160202413577624642现要求绘制晶粒尺寸与退火时间的关系图，并求得退火时间为2.5小时时晶粒尺寸的大小。建立模型为绘制晶粒尺寸与退火时间的关系图，必须求得实验所测试的两个时间段中间的晶粒尺寸。为此必须使用插值来求得近似的函数曲线。算法选择使用差商算法，并与三次样条插值算法进行比较。在此令，即自然条件作为限制。在此选用的2阶Newton基本插值多项式为：计算流程与MATLAB程序：%Newtona=[0.511.523456];b=[52102160202413577624642];f01=1:1:7;f012=1:1:6;fori=1:1:7f01(i)=(b(i+1)-b(i))/(a(i+1)-a(i));endfori=1:1:6f012(i)=(f01(i+1)-f01(i))/(a(i+2)-a(i));endn=1;fori=0:0.01:1x(n)=2+i;y(n)=b(4)+f01(4)*(x(n)-a(4))+f012(4)*(x(n)-a(4))*(x(n)-a(5));n=n+1;endplot(x,y)%splinea=[0.511.523456];b=[52102160202413577624642];a0=0.5:0.1:8;b0=spline(a,b,a0);x=spline(a,b,2.5)plot(a0,b0);holdon;plot(2.5,x,’-o’)MATLAB程序截图：计算结果与分析对于Newton差商插值多项式计算了退火时间从2小时到3小时这段区域，图形接近于线性增长。由样条插值曲线图分析可知，晶粒尺寸随退火时间的改变而近似线性地增长，直到一定尺寸后变化区域平缓。同时根据计算结果，可知在2.5小时的退货时间下，晶粒尺寸约为294.6nm。

5.回归分析……………镁合金析氢与时间关系问题描述镁合金海水激活电池的一个重要性能指标便是析氢速率。现在通过实验制备得到了某种镁合金，并将其置于NaCl溶液中，通过排水法收集氢气，建立其析氢量与时间之间的关系。其实验数据如下：时间/h123456析氢/ml0.92.13.86.29.011.8已知析氢量与时间为线性关系，现欲求出析氢量与与时间的函数关系。建立模型这是典型的一元线性回归问题，其模型为。通过极大似然估计可得：。其中，。算法的选择通过MATLAB编程可以很容易地求得上述未知量，从而得到未知参数a,b的估计值。计算过程及MATLAB程序x=1:1:6;y=[0.92.13.86.29.011.8];x0=mean(x);y0=mean(y);lxx=0;lxy=0;fori=1:1:6lxx=(x(i)-x0)^2+lxx;lxy=(x(i)-x0)*(y(i)-y0)+lxy;endb=lxy/lxx;a=y0-b*x0;abn=1:0.01:6;m=a+b*n;plot(x,y,'*')holdonplot(n,m)MATLAB程序截图：计算结果与分析显然两者的函数关系为。由此关系可以预测任意时间下该种镁合金在NaCl溶液中的析氢量。

6.数值积分法……………人口统计模型问题描述某城市2013年的人口密度近似为，P(r)表示距离市中心r公里区域内的人口数，单位为美平方公里10万人。试求距离市中心2公里区域内的人口数。建立模型假设从城市中心到2公里范围是由无数个非常小的同心圆环组成的，每一个环的宽度很小，以至于在环内人口密度可以看成常数P(rj)。那么就可以得到所求的人口数：算法的选择分别使用分段的梯形公式和Simpson公式对原函数进行积分。表达式分别为和。（4）计算过程及MATLAB程序

functiony=fc(x)y=8*pi*x/(x^2+20);s1=0;s2=0;fori=0:0.1:1.9s2=s2+0.1/6*(fc(i)+4*fc((i+i+0.1)/2)+fc(i