新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第3课时不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第3课时不同函数增长的差异学习目标素养要求1．结合现实情境中的具体问题，通过计算比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异数学运算2．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较数学运算3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题数学抽象数学建模|自学导引|

三类不同的函数模型增长的比较1．三类常见不同函数增长的差异性质函数y＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)单调性递增增长速度不变先慢后快先快后慢图象变化随x的增大，图象均匀上升随x的增大，图象上升的速度逐渐变快，当x很大时，呈“爆炸式”增长随x的增大，图象上升的速度逐渐变慢2．函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增长速度的对比(1)对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于__________快于__________，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有________．(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有__________．ax的增长xn的增长ax＞xn

logax＜xn

(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都单调递增，但它们的增长__________，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有______________．速度不同logax＜xn＜ax

在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？【提示】y＝3x．【预习自测】|课堂互动|题型1几类函数模型的增长差异

(1)下列函数中，增长速度最快的是 (

)A．y＝2023x B．y＝2023C．y＝log2023x D．y＝2023xA．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快【答案】(1)A

(2)C常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m＞0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定．【答案】A【解析】指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a的值越大，增长速度越快．故选A．题型2函数增长速度的比较

(1)(多选)如图，能使得不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是

(

)A．x＞2B．x＞4C．0＜x＜2D．2＜x＜4(2)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．【答案】(1)BC【解析】结合图象可知，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，有log2x＜x2＜2x．故选BC．(2)解：①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝lnx．②当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x)．综上，当x＝x1或x＝x2时，g(x)＝f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．2．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；题型3函数模型的选择问题某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)．现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70．①同理，y＝g(x)＝－80×0.5x＋140．②再将x＝4分别代入①②得，f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130，g(4)＝－80×0.54＋140＝135．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．3．某人对某种松树的生长进行了研究，搜集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据如下表所示，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合，并预测第八年的松树的高度．t/年123456h/米0.611.31.51.61.7解：由表可以看出增长速度越来越慢，用对数函数模型合理．把(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得a＝3．故h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝2．故可预测第8年松树高2米．|素养达成|三种函数模型的选取(体现了数学建模核心素养)．(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．1．(题型2)如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为

(

)A．一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型【答案】A【解析】随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A．x45678910y151719212325272．(题型1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是

(

)A．y＝3x B．y＝log3xC．y＝x3 D．y＝3x【答案】D【解析】几种函数模型中，指数函数增长最快．故选D．3．(题型3)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是 (

)【答案】D【解析】设该林区的森林原有蓄积量为