新教材2024版高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课件新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念学习目标素养要求1．用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素数学抽象2．会求一些简单函数的定义域和值域数学运算3．理解区间的概念及表示直观想象|自学导引|

函数的概念概念设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A三要素对应关系f定义域______的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}任意一个数x

唯一确定x

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．

(

)(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y．

(

)(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1．(2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应．(3)在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集．

函数相等如果两个函数的_________相同，并且__________完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．定义域对应关系

函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？【提示】两个函数的定义域都是按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．【预习自测】

区间及有关概念1．一般区间的表示．设a，b∈R，且a＜b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间______

{x|a＜x＜b}开区间______

{x|a≤x＜b}半开半闭区间______

{x|a＜x≤b}半开半闭区间______

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

2．特殊区间的表示．定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)________________________________[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？【提示】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．【预习自测】|课堂互动|题型1函数关系的判定

(1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是

(

)【答案】(1)D

(2)AB

【解析】(1)任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．由此可知D不满足要求，因此不表示函数关系．(2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x＜0时不满足．故选AB．判断一个对应关系是否为函数的方法根据图形判断对应关系是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l．(2)在定义域内平行移动直线l．(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 (

)A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】B

【解析】①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性；②对，同时满足任意性与唯一性；③错，x＝2时，对应元素y＝3

N，不满足任意性；④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．题型2相同函数的判断【答案】(1)⑤

【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数．判断两个函数为同一函数应注意三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．题型3求函数的定义域【答案】(1)B

(2)B

求函数的定义域的注意点(1)函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的取值范围．【答案】(1)C

(2)C题型4求函数值和函数值域(2)解：①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数的值域是R．②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．【答案】(1)16

易错警示求函数定义域时条件考虑不充分错解：由题意得3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．易错防范：忽视分母不为零；误以为(x＋1)0＝1对任意实数成立．防范措施是求函数的定义域时应注意以下几点：①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③零的非正数次幂没有意义；④函数的定义域是非空的数集．|素养达成|1．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应关系．因此，判定两个函数是否是同一函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一函数(体现了数学抽象核心素养)．2．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．1．(题型1)下列图形中可能表示函数图象的是 (

)【答案】C

【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C．【答案】D