重难点06 圆锥曲线中的定点、定值问题 （十六大题型）（解析版）

重难点06圆锥曲线中的定点、定值问题【题型归纳目录】题型一：面积、弦长定值题型二：数量积定值题型三：斜率和定值题型四：斜率积定值题型五：斜率比定值题型六：线段定值题型七：斜率和过定点题型八：斜率积过定点题型九：角度相等过定点题型十：垂直过定点题型十一：弦中点过定点题型十二：数量积过定点题型十三：线段比过定点题型十四：向量相等过定点题型十五：坐标定值题型十六：斜率定值【方法技巧与总结】1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量．（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．【典型例题】题型一：面积、弦长定值例1．（2023·福建厦门·高二统考期末）已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点在曲线上，点，在曲线上，若四边形为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由【解析】（1）设，，因为点在曲线上，所以，因为，所以，代入可得，即，即的方程为；（2）设，，，因为点在曲线上，所以，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以，又、，所以，因为，所以，直线：，点到直线的距离，所以平行四边形的面积.例2．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为.(1)若为直角三角形，求的离心率；(2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由；(3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由.【解析】（1）如图，，，，，由题意，即，故，解得离心率（2）必要不充分条件.必要性：根据椭圆的对称性可知，当，关于轴对称时，成立；充分性：椭圆方程为，设，，在上不单调，所以可举反例：分别取，，即，使得，但，不关于轴对称.（3）由题意，，，椭圆方程为，设，则直线的斜率为，方程为：，联立椭圆方程得，，故，代入得，所以，同理直线的方程为：，联立椭圆方程得，，故，代入得，所以，所以，直线方程为，令，可得，即直线恒过椭圆的右焦点.所以的周长为定值.例3．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）在平面上．设椭圆，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为．(1)若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；(2)设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）梯形的高为，，代入椭圆方程得：，在上的射影为的焦点，，又，.（2）当时，椭圆；设，由得：，，；，可设直线，由得：，则，解得：，，；；；，，整理可得：，即；点到直线的距离为直线与间距离的倍，，，即的面积为定值.题型二：数量积定值例4．（2023·上海静安·高二校考期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长；(2)当时，求直线l的方程；(3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？【解析】（1）由题意知，，将代入椭圆方程得，不妨设，，所以.（2）由（1）知，当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，不符合题意，舍去，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，，设，，则，，所以，解得：，所以，所以直线l的方程为：.（3）假设是一个定值.①当直线l的斜率存在时，由（2）知，，，因为，，所以，要使得是一个定值，则，解得：，此时.②当直线l的斜率不存在时，由（1）知，，，则，，所以，当时，.综上，存在，位于x轴上的定点使得是一个定值为.例5．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，①将代入椭圆方程得：，解得，所以，②又，③综合①②③解得：，，，所以椭圆M的方程为．（2）存在．设，，，直线，联立方程：，得，所以，，，，，当，即时，为定值，所以存在点，使得为定值．例6．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：为定值．【解析】（1）因为是抛物线上一点，所以，即，所以抛物线方程为：，其焦点坐标为：.（2）证明：如图：设，，，,设直线l方程为，直线l方程与抛物线方程联立得消去，整理得：，恒成立.则，，又直线的方程为：，即.令，得，则，同理可得，则，.所以.所以，即，为定值.变式1．（2023·高二单元测试）已知过点的动直线l与椭圆交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【解析】由题意，设直线的方程为，设点，联立方程组，整理得，可得，假设在轴上存在定点，使得为定值，因为，可得为定值，则，解得，且此时，所以在上存在定点，使得的值为定值.变式2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的动直线交轨迹于，设，证明：为定值．【解析】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，可得，设，则，因为，可得，即，整理得.（2）当直线的斜率存在，可设直线，联立方程组，整理得，设，因为直线与曲线交于两点，则，且，因为，可得，所以；当直线的斜率不存在，此时直线，联立方程组，解得，不妨设，此时，可得，综上可得，为定值.变式3．（2023·上海宝山·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)、分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点，与轴交于点.①若点是线段的中点，求点的轨迹方程；②设直线与直线交于点，求证：为定值.【解析】（1）依题意，，由点在上得，解得,所以椭圆的标准方程为.（2）①由（1）知，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去y得，设，于是，设线段的中点，则，，当时，两式相除得，代入上式化简得，当时，线段的中点的坐标满足上述方程，所以的轨迹方程为(除去点)；②由直线的方程，得点，当时，，不符合题意，因此，当点异于、点时，设，由,,三点共线，得，由,,三点共线，得，而，两式相除得，解得，从而，为定值，当点与点重合时,，满足，当点与点重合时,，满足，所以为定值.题型三：斜率和定值例7．（2023·安徽·高二校联考期末）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.(1)求点的坐标和的方程；(2)若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）由直线知，，得定点.则，解得，故的方程为.（2）由（1）知，，设，.联立，整理得，则，且，∴且，∴，，∴所以直线，的斜率之和是为定值，定值为3.例8．（2023·湖南长沙·高二校联考期中）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.(1)求的方程；(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.【解析】（1）由题得，当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，最小值为，又，解得，所以的方程为.（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立得，则，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），即，所以，所以，又，所以为定值.例9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点，所以，设满足，则，又，则，所以椭圆的方程.（2）直线，代入椭圆，可得，由于直线交椭圆于两点，所以，整理得.设，由于点与关于原点对称，所以，于是有，，又，于是有故直线的斜率与直线的斜率之和为0.变式4．（2023·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）(1)求抛物线C的方程；(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）抛物线C：的焦点，直线的方程为，由消去y并整理得：，设，则，，因此，而，解得，所以抛物线C的方程为.（2）存在，使得为定值.依题意，直线，直线，由消去y并整理得，设，则，，，设，同理，且有，由，得，即，而，则，所以存在，使得为定值0.变式5．（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.【解析】（1）由题意可知：，又，解得，所以椭圆方程为（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程：，设，则，，将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.题型四：斜率积定值例10．（2023·贵州遵义·高二统考期中）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，且顶点到渐近线的距离为，点是双曲线右支上一动点（不与重合），且满足，的斜率之积为.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线交于轴上方的，两点，若是线段的中点，是线段上一点，且，为坐标原点，试判断直线，的斜率之积是否为定值．若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，即，因为顶点到渐近线的距离为，所以，设，，，则，所以，因为点在双曲线上，所以，所以，所以，又所以，，，所以双曲线的方程为．（2）设直线的方程为，，，联立，得，则，所以，，因为直线与双曲线交于轴上方的，两点，所以，即，解得，所以，，即，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即直线，的斜率之积为定值．例11．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．(1)求k的取值范围；(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．【解析】（1）与圆相切，，，由，得，，，故的取值范围为.（2）由已知可得的坐标分别为，，，又因为，所以，为定值.例12．（2023·江苏南京·高二统考期末）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，为线段的中点，为坐标原点，且．(1)求椭圆的方程；(2)已知圆，为圆上任意一点，过点作椭圆的切线，交圆于点，若与斜率都存在，求证：为定值．【解析】（1）依题意可得，，，，所以，所以，所以椭圆的方程为：．（2）若的斜率不存在，则，或，，此时；若的斜率存在时，可设直线的方程为，，，由联立消去可得，，方程的判别式，，，，所以，当直线与椭圆相切时，由联立消去可得，，，化简得，所以，综上可得为定值．变式6．（2023·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.(1)求椭圆的离心率；(2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值；(3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为，所以，又，所以，解得，所以椭圆E的的离心率.（2）设直线的方程为，联立，得，设，，，则，，因为原点为的重心，所以，，所以.（3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或，当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，将或者代入椭圆方程，均求得，又点到直线的距离均为3，因此.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由（2）知，，，，因为在椭圆上，代入椭圆方程可得，化简得，又，到直线AB的距离为：，所以为定值.综上所述，的面积是为定值.变式7．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.(1)设的斜率分别为，求证：为定值；(2)判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【解析】（1）设，则由的中点在双曲线的渐近线上，则，即为定值.（2）（1）（2）联立（1）（2）得：同理，设到直线的距离为，则由（1）知：变式8．（2023·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．(1)求的标准方程；(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．【解析】（1）依题意得：，解得．所以椭圆的标准方程为．（2）因为直线过原点，设，，．所以，，所以又因为，，所以所以是定值．题型五：斜率比定值例13．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【解析】（1）设，，直线AB的斜率显然存在，则，因为线段AB中点Q的坐标为，所以，，直线AB的斜率，A，B两点在椭圆椭圆C上，所以，，两式相减得，即，所以，整理得，①又且，②由①②可解得，，所以椭圆C的方程为.（2）由得，则，，，设M，N中点为，则，，因为M，N都在以P为圆心的圆上，所以，则点P在线段MN的垂直平分线上，依题意，所以线段MN的垂直平分线方程为，M，N中点为在此直线上，所以有，即，解得.所以k的值为.（3）依题意有，，，设直线的方程为，由得，则，，，所以为定值.例14．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.【解析】（1）依题可得，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）设，，因为直线过点且斜率不为，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，其判别式，所以，.两式相除得，即．因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．从而．（3）由（1）知，设，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.题型六：线段定值例15．（2023·安徽芜湖·高二统考期末）已知以为焦点的椭圆过，记椭圆的另一个焦点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若直线是曲线的切线，且与直线和分别交于点，与轴交于点，求证：为定值.【解析】（1）由题意得，即，所以的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，方程为（2）当切线的斜率存在时，设切线为，则，联立可得：，则，即，设，直线和是曲线的渐近线，联立可得：，则，，，所以.当切线的斜率不存在时，易知.例16．（2023·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：为定值．【解析】（1）因为椭圆：过点，所以，又椭圆的离心率为，则所以，故椭圆方程为（2）设直线的方程为，所以，设，由，得，则，所以，设直线的方程为，由，得，设，则，则，所以，故，因此为定值.例17．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，(1)求的值.(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，由题得，所以，因为，所以△是等边三角形，因为是的中点，所以，故，所以，，所以，所以，即.（2）由（1）可知抛物线的方程是，设直线的方程为，，因为，所以，即，即.又，所以，故.联立，消去，得，其中，则，所以，所以.设点到直线和直线的距离分别为，则由得，所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.变式9．（2023·陕西榆林·高二校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为为上一动点（点异于的左右顶点），面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)直线分别与交于异于点的两点，试判断是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.【解析】（1）由椭圆满足且面积的最大值为，可得，解得，所以，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，可得，设，则直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，解得，直线的方程为，联立方程组，同理可得，所以因为，所以，所以，为定值.变式10．（2023·河南信阳·高二统考期末）已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．(1)求椭圆E的方程；(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．【解析】（1）因为椭圆过点，，且AM的斜率为，所以，解得，，所以椭圆E的方程为（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，设，，由，得，，得，则，，因为，直线AD的方程为，令，解得，则，同理可得，所以为定值，所以为定值，该定值为变式11．（2023·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，因为的周长为，则，椭圆的离心率为，则，解得，则，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线，与椭圆方程联立解得，则，当直线的斜率存在时，设直线，由消去y并整理得：，显然点在椭圆内，即直线与必交于两点，有，又直线与圆相切，即，即得，显然，即有，因此，所以为定值.题型七：斜率和过定点例18．（2023·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知椭圆的焦距为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得直线和关于轴对称？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）椭圆的焦距为，故，过点，，且，联立解得：所以椭圆的方程为：.（2）椭圆右焦点为，故过椭圆右焦点且斜率为的动直线为：，和椭圆联立得：，，设，则，设存在异于点的定点，直线和关于轴对称，故，即化简得：，即则.故存在异于点的定点，使得直线和关于轴对称.例19．（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知解得，，，所以椭圆C的方程为；（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，，，,由得，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点例20．（2023·河南·高二校联考期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求的方程.(2)已知点是上不关于坐标轴对称的两点，且满足（表示斜率），判断直线是否过定点.若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为的中心在坐标原点，焦点在轴上，所以设椭圆的方程为，半焦距为.由题可得，所以，所以的方程为.（2）如图所示，由题可设直线的方程为，，联立，得，，则，所以，化简得，所以，即，将代入得，因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点.题型八：斜率积过定点例21．（2023·山西大同·高二统考期中）椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为.(1)求的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点.【解析】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，此时，又，故，解得，曲线的方程为.（2）方法一：设直线的方程为，代入得，设，得，则，，即，解得或.当时，此时，直线过定点，而与不重合，不合题意.当时，此时，此时直线过定点，满足要求.方法二：由题意，直线不经过点，设直线的方程为①.由方程得.②.由①②得，.若是上的点，则斜率为，，的斜率，即，解得.的方程为，即，故过定点.例22．（2023·浙江·高二校联考期中）已知椭圆：的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线分别交椭圆于和两点，记直线、的斜率分别为和.(1)求证：；(2)若为坐标原点，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？【解析】（1）由题意知，椭圆的左顶点为，焦距为，可得，解得，所以故椭圆的方程为，设过点与圆的切线的直线为，动圆的半径为，则化简得，所以和是方程的两根，由韦达定理知，.（2）设点，，联立方程组，整理得，则，得，，所以因为，所以将换成，可得，则直线的斜率所以直线的方程为由椭圆的对称性可知，直线必过轴上一定点所以，化简得这是一个与无关的方程，所以，即直线过定点.因为，所以点的轨迹是以为直径的圆上的一段弧，故存在点，使得为定值.例23．（2023·浙江台州·高二台州一中校考期中）已知动点到定点的距离比到直线的距离小1.(1)求动点的轨迹的方程；(2)取上一点，任作弦，满足,则直线AB是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【解析】（1）已知动点到定点的距离比到直线的距离小，可得动点到定点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义易知轨迹的方程为.（2）将代入中，可得：，，故得：，即得：；如图，设，，由于，整理可得：.，则根据点斜式方程可得：，整理得：；由直线的方程，可知直线恒过定点.变式12．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，所以，因为椭圆过点，所以，，得，所以椭圆方程为；（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得，

，所以，，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，化简得，即，所以或，当时，直线的方程为，则直线过定点（舍去），当时，直线的方程为，所以直线过定点，②当直线的斜率不存在时，设直线为（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直线也过定点，综上，直线恒过定点.题型九：角度相等过定点例24．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）已知椭圆:过点，离心率为，斜率不为零的直线过右焦点交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)在轴上是否存在定点，使得，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点，离心率为，所以，解得，

所以椭圆C的方程为（2）假设在轴上存在定点，使得，设直线L的方程为，，，因为，所以，即，所以，

即，所以

（*）

，由，得，

所以

代入（*），得，所以，故在轴上存在定点，使得.

另①当斜率存在时，设的方程为，因为，所以，即，所以，即，即（*），由得，则，代入（*）得，所以，故在轴上存在定点，使得.

②当斜率不存在时，显然综上所述：在轴上存在定点，使得.例25．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形.又，所以而，所以，在四边形中，，所以，在中，根据余弦定理得即化简得.所以椭圆的离心率；（2）因为椭圆的上顶点为，所以，所以，又由（1）知，解得，所以椭圆的标准方程为.在中，，，所以，从而，又为线段的中点，即，所以，因此，从而，根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为，，，联立消去得①，，根据韦达定理可得，，所以所以，整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足关于的方程①有两个不相等的解，所以直线恒过定点，定点坐标为.例26．（2023·四川凉山·高二统考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点．(1)求双曲线的标准方程．(2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为双曲线的离心率为，设双曲线的方程为，代入点，解得故双曲线的方程为（2）由直线过定点，当斜率为0时，符合条件，故设直线为：设，代直线入双曲线得设轴上的点，，同理由，则即要对任意的都成立，则在轴上存在点，使得变式13．（2023·河南新乡·高二统考期中）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2．(1)求的方程．(2)若为上的两个动点，两点的纵坐标的乘积大于，且．证明：直线过定点．【解析】（1）依题意可得，解得，故的方程为.（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，设的坐标分别为，则，且．设直线的倾斜角分别为，因为，且两点的纵坐标的乘积大于0，所以，所以，则，则，即，所以，所以，化简可得，则直线的方程为，故直线过定点．变式14．（2023·河北·高二校联考期中）已知椭圆：的右焦点为，离心率为．(1)求的方程．(2)若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且．证明：直线过定点．【解析】（1）依题意可得则，故的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，设，的坐标分别为，则，且，．设直线，的倾斜角分别为，因为，且，两点的纵坐标的乘积大于0，所以，所以则，则即，所以所以，化简可得则直线的方程为，故直线过定点题型十：垂直过定点例27．（2023·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)当为椭圆的右顶点时，直线与椭圆相交于两点（异于点），且.试判断直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.【解析】（1）由已知得：，解得，故椭圆的标准方程为；（2）由题意知，直线的斜率不为0，不妨设，由消去得，所以，即得，，，，又，所以，所以，解得，直线的方程为，则直线恒过点.例28．（2023·江苏连云港·高二统考期中）已知动圆M与y轴相切，且与圆N：外切，记动圆M的圆心轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设过点且互相垂直的两条直线与E分别交于点A，B，证明：直线AB过定点.【解析】（1）设动圆的圆心M坐标为，因为动圆M与y轴相切，所以圆M的半径为，且，由圆N：，知，半径为3，因为动圆M与圆N外切，所以，当时，，化简得，当时，，化简得，综上，轨迹E的方程为：；（2）由题意可得直线的斜率存在且都不等于零，设直线OA的方程为：，则直线OB的方程为：，联立，解得，，即点A的坐标为，同理可得，点B的坐标为，当时，直线AB的斜率为：，此时直线AB的方程为：，整理得，故直线AB过定点，当时，，，此时直线AB的方程为：，当时，，，此时直线AB的方程为：，综上，直线AB过定点.例29．（2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知抛物线的焦点为，且经过点.(1)求抛物线C方程及其准线方程；(2)过作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.【解析】（1）因为点在上，所以，解得，所以的方程为，准线方程为.（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，设点，则.直线的方程为，令，得，所以，同理得，设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，因为，则，即，所以，解得或.故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.变式15．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点．【解析】（1）设椭圆C的方程为，由题意得解得∴椭圆C的标准方程为．（2）证明：设点，∵，∴整理可得①，当直线MN的斜率k存在时，设，联立得，由得，则．∴，，代入①式化简可得，即，∴或，则直线方程为或，∴直线过定点或，又和A点重合，故舍去．当直线MN的斜率k不存在时，则，，此时，即，又，解得或2（舍去），此时直线MN的方程为，过点．综上所述，直线MN过定点．题型十一：弦中点过定点例30．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点在上．(1)求椭圆的方程；(2)过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．【解析】（1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上，取得到，即，又，解得，，（舍去负值），故椭圆方程为，（2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，，则，整理得到，，故，，即，同理可得：，则，故直线的方程为：，取，.故直线过定点.当有直线斜率不存在时，为轴，过点.综上所述：直线必过定点例31．（2023·陕西渭南·高三渭南市华州区咸林中学校考开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.(1)求E的方程；(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.【解析】（1）设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，因为点在E上，所以，又，解得，所以E的方程为.（2）由（1）知，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，设直线AB方程为：，与E的方程联立，消去x并整理，得，且，设，则，所以，所以点M的坐标为，因为，则直线CD的方程为，同理得，当，即时，直线MN的斜率，所以直线MN的方程为，所以，因为，所以直线MN的方程即为，显然直线MN过定点；当，即时，则或，此时直线MN的方程为，也过点.综上所述，直线MN过定点.例32．（2023·江苏泰州·统考模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．题型十二：数量积过定点例33．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.【解析】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点，又，因此，解得，所以抛物线C的方程为.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，则有，即，因此，则，解得，满足，直线过定点，所以直线恒过定点.例34．（2023·湖南·高二校联考期中）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的、两点．(1)求抛物线的方程；(2)如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．【解析】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为．（2）因为，直线与抛物线相交于不同的、两点，所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，设，，∴，．由，解得，∴过定点．例35．（2023·黑龙江·高二统考期中）已知点是抛物线上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点（位于对称轴异侧），（O为坐标原点）．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线l必过定点．【解析】（1）由题可知，，解得，所以抛物线的方程为．（2）因为A，B位于对称轴异侧，所以l与对称轴不平行，设直线l的方程为，，，且，联立，消去x可得，则，且，，即，所以，由，得，即，解得（舍去）或，故直线l的方程为，所以直线l必过定点，得证．题型十三：线段比过定点例36．（2023·江西·高三金溪一中校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右顶点分别，，上顶点为，的面积为3，的短轴长为2.(1)求的方程；(2)斜率不为0的直线交于，两点（异于点），为的中点，且，证明：直线恒过定点.【解析】（1）由题意得，解得，，故的方程为.（2）证明：由题意设直线的方程为，，，联立，得，

所以，即，，，因为，所以，所以，

即，则，整理得，

所以，即整理得，解得或，

当时，直线的方程为，恒过点，舍去；当时，直线的方程为，恒过点，符合题意，即直线恒过定点.例37．（2023·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)求面积的最大值；(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为.（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，故设直线为，联立，消去，得，因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知：面积的最大值为.（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，由（2）知，又因为点关于轴的对称点的坐标为，又，，则，所以，则三点共线，所以；综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且..例38．（2023·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意可知圆E的标准方程为，圆心，因为线段的垂直平分线交于点，所以，动点始终满足，故动点S满足椭圆的定义，曲线是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，因此，解得，椭圆C的方程为.（2）存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：当直线与轴平行时，由椭圆的对称性可知，又因为得，则，从而点Q必在y轴上，可设，当直线与轴垂直时，则，如果存在定点满足条件，由，即，解得或，若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是；当直线不平行于轴且不垂直与轴时，可设直线的方程为，联立，消去并整理得：，，设A、B的坐标分别为、，，，又点关于轴对称的点的坐标为，，又，，，则、、三点共线，；故存在与点不同的定点，使得恒成立．变式16．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.(1)求面积的最大值；(2)是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，设，直线的斜率显然存在，故设直线为，联立，消去，得，因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.（2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，则有，即，解得或，所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，由（1）知，又因为点关于轴的对称点的坐标为，又，，则，所以，则三点共线，所以；综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.题型十四：向量相等过定点例39．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线E：的焦点为F，E的准线交轴于点K，过K的直线l与拋物线E相切于点A，且交轴正半轴于点P.已知的面积为2.(1)求抛物线E的方程；(2)过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足.证明：直线过定点.【解析】（1）由题可知，，准线，，因为直线l的斜率存在且不为0，所以设l：，联立，消去x，得，因为l与E相切，所以，所以或，因为交y轴正半轴于点P，所以,因此，解得，所以，故，所以，所以（负值舍去），所以抛物线E的方程为.（2）由（1）知，又l：，所以，如图所示：因为过点P的直线交E于M，N两点，所以斜率存在且不为零，所以设：，，，联立，消去x，得，则，所以且，.又直线：，令，得，所以，因为，所以，所以，所以直线的方程为，所以，因为，所以直线为，所以恒过定点.例40．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知双曲线的左右顶点分别为点，其中，且双曲线过点．(1)求双曲线的方程；(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．【解析】（1）由，则，又，则，所以，故双曲线的方程为：.（2）如图，由，则方程为，显然直线DE的斜率存在，设直线方程为：，则，则，由，则，则，，联立，则，则所以，故，故过定点.题型十五：坐标定值例41．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．(1)求实数的取值范围；(2)证明：当变化时，点的纵坐标为定值．【解析】（1）将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，要使直线与双曲线的右支有两