期末复习专题二：生活与实际-分数、百分数、比的应用【五大篇目】-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（解析版）苏教版

第第页2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列期末复习专题二：生活与实际—分数、百分数、比的应用【五大篇目】专题解读本专题是期末复习专题二：生活与实际——分数、百分数、比的应用。本部分内容包括分数、百分数、比的典型应用题和拓展题型，该部分根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为五个篇目，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【第一篇】分数乘除法应用题“基本题型”【知识总览】 4【考点一】单位“1”与数量关系式 5【考点二】分数乘法应用题基本题型 8【考点三】分数除法应用题基本题型 13【第二篇】分数乘除法应用题“提高题型”【知识总览】 24【考点一】分数乘法应用题进阶型 25【考点二】分数乘法中的单位“1”变化问题 26【考点三】量率对应问题 27【考点四】工程问题 37【第三篇】分数乘除法应用题“拓展题型”【知识总览】 44【考点一】基础型 44【考点二】一般型 45【考点三】分率和与分量差 47【考点四】拓展型 49【第四篇】比的应用——求比和按比例分配问题【知识总览】 52【考点一】在实际问题中求比 52【考点二】按比例分配问题 69【考点三】三种类型的不变量问题 80【第五篇】百分数的应用【知识总览】 85【考点一】百分数乘除法应用题 87【考点二】百分率问题 100【考点三】比与百分数 103【考点四】浓度问题 111【考点五】折扣问题 114【考点六】税率（收）问题 116【考点七】利率（息）问题 117【考点八】促销问题 119【考点九】利润问题 122【第一篇】分数乘除法应用题“基本题型”【知识总览】一、单位“1”与数量关系式。1.“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”；2.分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量；3.分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。二、分数乘法解决问题。1.画线段图：①两个量的关系：画两条线段图；②部分和整体的关系：画一条线段图。2.找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。3.已知单位“1”，求一个数的几倍或求一个数的几分之几是多少。一个数×几倍或乘几分之几。4.连续求一个数的几分之几是多少。连续求一个数的几分之几是多少，用单位“1”连续乘对应的分率。5.已知单位“1”，求比一个数多几分之几，是多少。单位“1”×（1+分率）=一个数。6.已知单位“1”，求比一个数少几分之几，是多少。单位“1”×（1-分率）=一个数。三、分数除法解决问题。1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。方程解法：（1）找出单位“1”，设未知量为x；（2）找出题中的数量关系式；（3）列出方程。算术法：（1）找出单位“1”；（2）找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几；（3）列除法算式。即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。2.分数连除应用题。（1）分数连除应用题的结构特点：题中有3个数量，两个单位“1”，都是未知的。（2）分数连除应用题的解题方法：①方程解法：设所求单位“1”的量为x，根据等量关系列方程解答。②算术解法：用已知量连续除以它们所对应的单位“1”的几分之几。（3）解题关键：找准单位“1”，求出中间量。3.已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数。分量÷（1+分率）=单位“1”。分量÷（1-分率）=单位“1”。【考点一】单位“1”与数量关系式。【典型例题】1．六（一）班女生人数是全班人数的。这句话中把()看作单位“1”，数量关系式是：()×()＝女生人数。【答案】全班人数全班人数【分析】确定单位“1”，找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，确定等量关系式。【详解】六（一）班女生人数是全班人数的。这句话中把全班人数看作单位“1”，数量关系式是：全班人数×＝女生人数。【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。2．九月份用水量比八月份节约了，这句话是把()看作单位“1”，相等关系式是()。【答案】八月份用水量九月份用水量＝八月份用水量×（1－）【分析】主要考虑两个量之间单位“1”的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……。所以题目中是把八月份用水量看作单位“1”，九月份用水量相当于八月份用水量的（1－）。据此解答。【详解】九月份用水量比八月份节约了，这句话是把八月份用水量看作单位“1”，相等关系式是：九月份用水量＝八月份用水量×（1－）。【点睛】此题主要通过确定单位“1”，掌握求比一个数少几分之几的数是多少的计算方法。【对应练习】1．男生人数比女生少，是把()看作单位“1”，那么女生人数是男生的。【答案】女生人数；【分析】一般将分数“的”字前面的量看作单位“1”，把“是”“占”“比”后面的量看作单位“1”；A是B的几分之几的计算方法：A÷B＝，结果化为最简分数，据此解答。【详解】1÷（1－）＝1÷＝1×＝所以，男生人数比女生少，是把女生人数看作单位“1”，那么女生人数是男生的。【点睛】掌握单位“1”的确定方法和一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。2．桃树的棵数比苹果树多，是把()看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少()。【答案】苹果树棵数【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为1，则桃树的棵数是1×（1＋），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。【详解】桃树的棵数比苹果树多，是把苹果树棵数看作单位“1”。1×（1＋）＝1×＝（－1）÷＝÷＝×＝那么苹果树棵数比桃树少。【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。3．在“一个班男生人数比女生多”中，把()看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。【答案】女生人数；；；【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”，或把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。即：在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，那么男生人数是女生的（1＋＝），女生人数是男生人数的1÷＝，全班人数是女生的（1＋1＋＝），男生人数是全班人数的（÷＝）。【详解】根据分析，把女生人数看作单位“1”，可得：1＋＝1÷＝÷（1＋1＋）＝÷＝所以，在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。【考点二】分数乘法应用题基本题型。【典型例题1】（连续）求一个数的几分之几是多少。学校图书馆新购进540本书，其中故事书的本数是这批书的，故事书有多少本？【答案】240本【分析】把书的总本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用540×即可求出故事书的本数。【详解】540×＝240（本）答：故事书有240本。【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。【对应练习】1．三个同学踢建子，玲玲踢了72个，小洋踢得是玲玲的，小梅踢得是小洋的，小梅踢了多少个。【答案】【分析】连续求一个数的几分之几是多少的问题，用分数连乘计算，所以小梅踢的个数＝玲玲踢的个数乘，再乘。【详解】答：小梅踢了45个。【点睛】本题考查分数乘法的应用，连续求一个数的几分之几是多少，用分数连乘计算。2．正常成年人的全身共有骨骼206块，人手骨骼的数量是人全身骨骼数量的。人手骨骼的数量和其他部位骨骼的数量各是多少块？【答案】54块；152块【分析】把人全身骨骼数量看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用人全身骨骼数量乘即可求出人手骨骼的数量，继而求出其他部位骨骼的数量。【详解】206×＝54（块）206－54＝152（块）答：人手骨骼的数量是54块，其他部位骨骼的数量是152块。【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法的意义，掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，从而解决问题。3．疫情期间，滨江小学储备了5000个口罩，红星小学的储备量比滨江小学的多450个，红星小学储备了多少个口罩？【答案】4450个【分析】把滨江小学储备的口罩数量看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用滨江小学储备的口罩数量乘后，再加上450个，即可求出红星小学储备了多少个口罩。【详解】5000×＋450＝4000＋450＝4450（个）答：红星小学储备了4450个口罩。【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。【典型例题2】已知单位“1”，求比一个数多或少几分之几，是多少。1．只列式不计算（列综合算式）。五年级同学进行垃圾分类，共收集了165个易拉罐，六年级比五年级多收集了，六年级收集了多少个易拉罐？【答案】165×（1＋）【分析】把五年级收集的易拉罐的数量看作单位“1”，六年级是五年级的（1＋），用五年级收集的易拉罐的数量×（1＋），即可求出六年级收集易拉罐的数量。【详解】165×（1＋）＝165×＝195（个）答：六年级收集195个易拉罐。【点睛】熟练掌握求比一个数多或少几分之几的数是多少的计算方法是解答本题的关键。2．火车提速后，磁悬浮列车运行速度可达630千米/时，普通列车比它慢，普通列车的速度是多少？【答案】180千米/时【分析】把磁悬浮列车运行的速度看作单位“1”，则普通列车的速度是磁悬浮列车运行速度的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用630乘（1－）计算即可。【详解】630×（1－）＝630×＝180（千米/时）答：普通列车的速度是180千米/时。【对应练习】1．修路队修一条42千米的公路，第一周修了全长的，第二周比第一周多修，第二周修了多少千米？【答案】【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用42乘即可得到第一周修的长度；把第一周修的长度看作单位“1”，则第二周修的长度是第一周的（1＋），同理，用第一周修的长度乘（1＋）即可求解。【详解】＝＝＝（千米）答：第二周修了千米。【点睛】本题考查求比一个数多几分之几的数是多少，明确单位“1”是解题的关键。2．2022年卡塔尔世界杯，据统计全球有大约340万球迷前往现场观看比赛，在世界杯历史上观赛人数排名第三。在本届世界杯到现场观看比赛的球迷中，欧洲球迷占全部球迷人数的，而亚洲球迷的人数比欧洲球迷的人数少，请问到现场观看世界杯的亚洲球迷有多少万人？【答案】102万人【分析】用全球球迷的总人数乘，求出欧洲球迷的人数；再根据亚洲球迷的人数比欧洲球迷的人数少，把欧洲球迷的人数看作单位“1”，亚洲球迷的人数是欧洲球迷的人数的1－，用欧洲球迷的人数×（1－），即可求出亚洲球迷的人数。【详解】340×＝136（万人）136×（1－）＝136×＝102（万人）答：现场观看世界杯的亚洲球迷有102万人。【点睛】本题考查了分数乘法应用题，关键是确定单位“1”；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。3．在创建文明城市活动中，五年级同学收集了153个易拉罐，六年级同学比五年级多收集了，四年级比六年级少收集了，四年级同学收集了多少个易拉罐？【答案】34个【分析】把五年级收集的易拉罐个数看作单位“1”，则六年级收集的易拉罐个数是五年级的（1＋），根据分数乘法的意义，用153×（1＋）即可求出六年级收集的易拉罐个数；再把六年级收集的易拉罐个数看作单位“1”，则四年级收集的易拉罐个数是六年级的（1－），根据分数乘法的意义，用六年级收集的易拉罐个数×（1－）即可求出四年级收集的易拉罐个数。【详解】153×（1＋）×（1－）＝153××＝34（个）答：四年级同学收集了34个易拉罐。【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用乘法计算。【典型例题3】分量和分率的区分问题一根电线长26.4米，第一次用去，第二次用去米，两次一共用去多少米？解析：26.4×＋＝6.6＋0.5＝7.1（米）答：两次一共用去7.1米。【对应练习】一根电线长20米，第一次用去它的，第二次又用去米，还剩多少米？解析：20－（20×＋）＝20－（5＋）＝20－5－＝15－＝（米）答：还剩米。【考点三】分数除法应用题基本题型。【典型例题1】已知两个数，求一个数比另一个数多或少几分之几？山前村计划造林200公顷，实际造林250公顷，实际造林增加了几分之几？【答案】【分析】）A比B多几分之几的计算方法：（A－B）÷B，据此计算。【详解】（250－200）÷200＝50÷200＝答：实际造林增加了。【点睛】实际造林面积比计划造林面积多几分之几，把计划造林面积看作标准量。【对应练习】17.5吨比20吨少几分之几？【答案】少【详解】试题分析：先求出17.5吨比20吨少多少吨，然后用少的重量除以20吨即可．解：（20﹣17.5）÷20，=2.5÷20，=；答：少．点评：本题属于基本的分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几，用除法求解．【典型例题2】已知一个数的几分之几是多少，求这个数。一个县前年绿色蔬菜总产量是720万千克，是去年总产量的。去年全县蔬菜总产量是多少万千克？【答案】720÷（万千克）【分析】总量＝分量÷分率，已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法计算，则想求去年蔬菜的总产量用720÷即可。【详解】720÷＝720×＝800（万千克）答：去年全县的蔬菜总产量是800万千克。【点睛】此题考查分数除法的应用，掌握总量、分量、以及分率之间的关系是解题的关键。【对应练习】1．实验小学美术组人数是科技组的，科技组人数是体育组的，美术组有40人，体育组有多少人？【答案】54人【分析】已知美术组有40人，美术组人数是科技组的，先把科技组人数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出科技组人数；又已知科技组人数是体育组的，再把体育组人数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出体育组人数。【详解】40÷÷＝40××＝45×＝54（人）答：体育组有54人。【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，区分两个单位“1”的不同，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。2．在2022年秋学期学生健康体检中，向阳小学六年级男生平均体重为43千克，小明的体重是45千克，小海的体重是小明体重的，又是小军体重的，小军的体重是多少千克？【答案】42千克【分析】把小明的体重看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用小明的体重乘即可求出小海的体重。再把小军的体重看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用小海的体重除以，即可求出小军的体重。【详解】45×÷＝35÷＝35×＝42（千克）答：小军的体重是42千克。【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的意义，掌握求一个数的几分之几是多少和已知一个数的几分之几是多少，求这个数的计算方法，从而解决问题。3．人体血液在动脉中的流动速度是50厘米/秒，在静脉中的流动速度是动脉中的，静脉中的流动速度只有毛细血管中的，血液在毛细血管中每秒流动多少厘米？【答案】【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用50乘即可求出血液在静脉中的流动速度；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用血液在静脉中的流动速度除以即可求解。【详解】＝＝20×40＝800（厘米）答：血液在毛细血管中每秒流动800厘米。【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。【典型例题3】分量和分率区分问题（分数平均分）。把米的绳子平均分成8段，每段长()米，每段是绳子的()。【答案】【分析】把这根绳子的长度看作单位“1”，把它平均分成8段，每段是总长度的；求每段长度，用这根绳子的长度米除以平均分成的段数；据此解答。【详解】1÷8＝÷8＝×＝（米）把米的绳子平均分成8段，每段长米，每段是绳子的。【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。【对应练习】1．小明把米长的丝带剪成同样长的5段，每段丝带长()米，每段占全长的()。【答案】【分析】把这根丝带的长度看作单位“1”，把它平均剪成同样长的5段，每段是总长度的；求每段长度，用这根丝带的总长度米除以平均剪成的段数；据此解答。【详解】1÷5＝÷5＝×＝（米）小明把米长的丝带剪成同样长的5段，每段丝带长米，每段占全长的。【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。2．把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长()米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长()米，每段是全长的()。【答案】【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第二段占全长的，则第一段占全长的（1－），然后用第一段的长度除以（1－）即可求出全长；对折两次，相当于把这根绳子平均分成4份，用全长除以4即可求出每段的长度；把这根绳子的全长看作单位“1”，用1除以段数即可求出每段是全长的几分之几。据此解答。【详解】÷（1－）＝÷＝×＝（米）÷4＝×＝（米）1÷4＝所以，把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长米，每段是全长的。【点睛】本题考查了分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率。【典型例题4】已知比一个数多或少几分之几的数是多少，求这个数。1.市动物园星期天有4200人参观，比星期一参观的人数多，这个动物园星期一有多少人参观？【答案】2700人【分析】根据题意，星期天参观的人数比星期一参观的人数多，把星期一参观的人数看作单位“1”，则星期天参观的人数是星期一的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出星期一参观的人数。【详解】4200÷（1＋）＝4200÷＝4200×＝2700（人）答：这个动物园星期一有2700人参观。【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。2.学校图书室购进300本故事书，比科技书少。购进科技书多少？【答案】500本【分析】根据题意，购进的故事书比科技书少，把科技书的本数看作单位“1”，则故事书的本数是科技书的（1－），单位“1”未知，用故事书的本数除以（1－），求出科技书的本数。【详解】300÷（1－）＝300÷＝300×＝500（本）答：购进科技书500本。【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。【对应练习】1．红星小学去年上半年用电8640千瓦时，比下半年多用了。红星小学下半年用电量多少千瓦时？【答案】7680千瓦时【分析】根据题意可知，把下半年的用电量看作单位“1”，则上半年用电量是下半年的（1＋），根据分数除法的意义，用上半年用电量除以（1＋）即可求出下半年的用电量。【详解】8640÷（1＋）＝8640÷＝8640×＝7680（千瓦时）答：红星小学下半年用电量7680千瓦时。【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。2．商场搞活动，某品牌冰箱降价促销，现价是2984元，原价是多少元？（列方程解答）【答案】3730元【分析】由题意可知，设原价是x元，根据等量关系：冰箱的原价×（1－）＝冰箱的现价，据此列方程解答即可。【详解】解：设原价是x元。（1－）x＝2984x＝2984x÷＝2984÷x＝2984×x＝3730答：原价是3730元。【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。3．实验学校五年级人数比六年级少，五年级的人数是四年级的，四年级有学生400人，六年级有多少人？【答案】540人【分析】把四年级的学生人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用400×即可求出五年级人数；再把六年级人数看作单位“1”，五年级人数是六年级的（1－），根据分数除法的意义，用五年级人数除以（1－），即可求出六年级人数。【详解】400×÷（1－）＝400×÷＝450÷＝450×＝540（人）答：六年级有540人。【点睛】本题考查了分数乘除法的计算和应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算以及已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。【典型例题5】已知比一个数的几分之几多或少多少是多少，求这个数。1.某停车场有普通车位和充电桩车位。充电桩车位有60个，比普通车位的多20个。这个停车场有普通车位多少个？【答案】240个【分析】由题意，某停车场充电桩车位有60个，是普通车位的还多20个，可得数量关系：普通车位的个数×＋20＝60；现在要求得普通车位的个数，可设其为x个，根据数量关系列方程：x＋20＝60，解这个方程即可。【详解】解：设普通车位的个数为x个，由题意得，x＋20＝60x＝60－20x＝40x＝40÷x＝40×6x＝240答：这个停车场普通车位有240个。【点睛】考查了用方程解决实际问题，需要明确数量关系，合理设出未知数。2.某小学开展第二课堂活动，美术小组有20人，比航模小组人数的少5人，航模小组有多少人？（用方程解答）【答案】30人【分析】设航模小组有x人，根据等量关系：航模小组的人数×－5＝美术小组的人数，列方程解答即可。【详解】解：设航模小组有x人。x－5＝20x＝20＋5x＝25x＝25÷x＝30答：航模小组有30人。【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是认真读题找出等量关系。【对应练习】1．校园里栽的杨树有48棵，比栽的柳树棵数的还多20棵，柳树有多少棵？【答案】56棵【分析】由题意，杨树的棵数比柳树棵数的还多20棵，也就是说杨树棵数减去20棵后，剩下的棵数恰好占柳树棵数的，把柳树棵数看作单位“1”，根据：对应量÷对应分率＝单位“1”的量，用杨树剩下的棵数除以，就是柳树的棵数。【详解】（48－20）÷＝28÷＝28×2＝56（棵）答：柳树有56棵。【点睛】本题比一般的分数除法应用题稍复杂些，如果能画线段图辅助分析，则可较快的确定好单位“1”、对应量以及对应分率。2．新华书城新到一批历史文献，每套售价650元，第一天卖出28套，是第二天卖出的，第三天卖的比第一天的多2套。第二天和第三天各卖出多少套？【答案】第二天卖出36套；第三天卖出23套【分析】根据题意可知，把第二天卖出的数量看作单位“1”，根据分数除法的意义，用28÷即可求出第二天卖出的数量；再把第一天卖出的数量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用28×即可求出第一天的是多少，再加上2套即可求出第三天卖出的套数。【详解】28÷＝28×＝36（套）28×＋2＝21＋2＝23（套）答：第二天卖出36套；第三天卖出23套。【点睛】本题主要考查了分数乘除法的混合应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算以及求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。【第二篇】分数乘除法应用题“提高题型”【知识总览】一、稍复杂的分数除法应用题（量率对应问题）。1.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题的结构特征：单位“1”是未知的，已知的比较量与所给的几分之几不对应。2.解题方法：①用方程解：找到题中数量间的等量关系，设未知量为x，列出方程。②算术法解：找到题中单位“1”，计算出已知量占单位“1”的几分之几，利用已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量（标准量）列式解答。3.解题关键：找准单位“1”，弄清谁是谁的几分之几，谁比谁多几分之几，计算出已知量是单位“1”的几分之几。二、单位“1”转化问题。单位“1”转化问题是分数应用题的常考题型，先统一单位“1”，再按照量率对应的方法解决问题。三、工程问题。1.工程问题的意义：工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。工程问题的特征：（1）工作总量：工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。（2）工作效率：工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。3.工程问题的解法：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。4.工程问题基本数量关系：①工作效率×工作时间=工作总量②工作效率=工作总量÷工作时间③工作时间=工作总量÷工作效率【考点一】分数乘法应用题进阶型。【典型例题】一桶油重35千克，倒出后，还剩多少千克？【答案】28千克【分析】把这桶油的重量看作单位“1”，倒出后，还剩下这桶油的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。【详解】35×（1－）＝35×＝28（千克）答：还剩28千克。【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。【对应练习】1．同学们参加植树活动，两天共植树1500棵。第一天植了。第二天植了多少棵？【答案】900棵【分析】把两天共植树的总数看作单位“1”，第一天植了总数的，那么第二天植了总数的（1－），单位“1”已知，用植树的总数乘（1－），即是第二天植树的棵数。【详解】1500×（1－）＝1500×＝900（棵）答：第二天植了900棵。2．学校食堂为了保证同学们的身体健康，特地买来吨栗子大米，同学们都觉得好吃，所以上周吃了它的。现在还剩多少吨大米？【答案】吨【分析】把买来的大米总吨数看作单位“1”，吃了它的，则还剩它的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出还剩的吨数。【详解】×（1－）＝×＝（吨）答：现在还剩吨大米。【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。【考点二】分数乘法中的单位“1”变化问题。【典型例题】一本书有225页，小红第一天看了，第二天看了剩下的，第三天应从多少页看起？解析：225×＝50（页）（225－50）×＝175×＝70（页）50＋70＋1＝121（页）答：第三天应从121页看起。【对应练习】1.《庄子天下篇》中有一句话，“一尺之锤，日取其率，万世不漏。”意思就是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，即。明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永运也取不完。那么第四天取的长度是()。【答案】尺【分析】因为每天取前一天取过的一半，所以第n天取的长度＝这根木棒的长度×（几个相乘）。【详解】第1天取的长度：1×＝（尺）第2天取的长度：×＝（尺）第3天取的长度：×＝（尺）第4天取的长度：×＝（尺）【点睛】从古文中明确数学信息和数学问题，逐天进行计算是解决本题的关键。2.一根绳长米，先剪掉它的一半，再把余下的剪掉一半，还剩下多少米？解析：（米）答：还剩下米。【考点三】量率对应问题。【典型例题1】“分率和”。修路队修一段公路，第一天修了50米，第二天修了70米，两天正好修了全长的，这段路共多少米？【答案】280米【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，已知两天一共修了（50＋70）米，正好修了全长的，单位“1”未知，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用两天一共修的长度除以，即可求出这段公路的全长。【详解】（50＋70）÷＝120÷＝120×＝280（米）答：这段路共280米。【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。【典型例题2】“分量和”。1.一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，这时共行了140千米。甲乙两地相距多少千米？（列方程解答）【答案】240千米【分析】假设甲乙两地相距x千米，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以用x×和x×分别表示出第1小时和第2小时行驶的路程，把这2小时行驶的路程加起来等于140千米，据此列出方程，解方程即可得解。【详解】解：设甲乙两地相距x千米。x＋x＝140x＋x＝140x＝140x＝140÷x＝140×x＝240答：甲乙两地相距240千米。【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲乙两地的距离设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。2.小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了24元，其中笔记本的价格正好是钢笔价格的，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？【答案】9元；15元【分析】将钢笔的价格看成单位“1”，笔记本的价格正好是钢笔价格的，则24元对应钢笔价格的（1＋）＝，根据分数除法的意义，用24÷即可求出一支钢笔的价格；继而求出一个笔记本的价格；据此解答。【详解】24÷（1＋）＝24÷＝24×＝15（元）24－15＝9（元）答：一个笔记本的价格是9元，一支钢笔的价格是15元。【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。3.今年植树节六年级共植树280棵，男生植树棵数比女生的多10棵，六年级女生共植树多少棵？【答案】150棵【分析】根据“男生植树棵数比女生的多10棵”，设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵；根据“六年级共植树280棵”可得出等量关系：六年级女生植树的棵数＋六年级男生植树的棵数＝六年级植树的总棵数，据此列出方程，并求解。【详解】解：设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵。＋＋10＝280＋10＝280＋10－10＝280－10＝270÷＝270÷＝270×＝150答：六年级女生共植树150棵。【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。【典型例题3】“分量差”。1.新学期开学时，小明把他积蓄的用来买文具，用来买课外读物，他发现买课外读物的钱比买文具多花了20元，小明有积蓄多少钱？【答案】400元【分析】把小明的积蓄看作单位“1”，买课外读物用的钱数比买文具用的钱数多占积蓄的（－），且买课外读物比买文具多花20元，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出小明的积蓄，据此解答。【详解】20÷（－）＝20÷＝20×20＝400（元）答：小明有积蓄400元。【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。2.一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果还剩多少千克？【答案】450千克【分析】把这批水果的总数看作单位“1”，卖出这批水果的，剩下这批水果的（1），由此可以150千克相当于这批水果的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出这批水果的总数，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出剩下多少千克。【详解】150÷（1）×（1）＝×＝150×5×＝750×＝450（千克）答：这批水果还剩450千克。【点睛】此题属于基本的分数乘除法应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。3.鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的。鲜蜜果园的枇杷树有多少棵？【答案】80棵【分析】把橘子树的棵数看作单位“1”，橘子树棵数的（1）是120棵，根据分数除法的意义，用120棵除以（1），就是橘子树的棵数；再根据分数乘法的意义，用橘子树的棵数乘，就是枇杷树的棵数。【详解】120÷（1＝120＝200＝80（棵）答：鲜蜜果园的枇杷树有80棵。【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。【典型例题4】“分率差”。1.曙光小学开辟“农耕园”，六年级学生共种植80棵茄子，120棵青菜，青菜比花菜多种了，六年级学生种植了多少棵花菜？【答案】96棵【分析】已知青菜比花菜多种了，则把花菜的棵数看作单位“1”，青菜的棵数是花菜的（1＋），又已知种植了120棵青菜，根据分数除法的意义，用120÷（1＋）即可求出花菜的棵数。【详解】120÷（1＋）＝120÷＝120×＝96（棵）答：六年级学生种植了96棵花菜。【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知比一个数多几分之几的数是多少，求这个数用除法计算。2.国庆期间，我校共有660名学生观看了阅兵仪式直播，其中观看阅兵仪式直播的男生人数比女生人数多，观看阅兵仪式直播的女生有多少人？【答案】300人【分析】把女生人数看作单位“1”，已知男生人数比女生人数多，则男生人数占女生人数的（1＋），男、女生人数和占女生的（1＋1＋），又已知男、女生人数和为660人，根据分数除法的意义，用660÷（1＋1＋）即可求出观看阅兵仪式直播的女生人数。【详解】660÷（1＋1＋）＝660÷＝300（人）答：观看阅兵仪式直播的女生有300人。【点睛】本题主要考查了已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，关键是明确具体的数量对应的分率。【典型例题5】剩余分量或分率。1.工程队修一条铁路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，还剩下400米没有修，这条铁路共长多少米？解析：400÷（1－－）＝400÷＝960（米）答：这条铁路共长960米。2.修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？解析：（米）答：这段公路全长1620米。【对应练习】1．一套运动服的价格是300元，其中裤子的价格是上衣价格的。上衣和裤子的价格分别是多少元？【答案】上衣：200元；裤子：100元【分析】设上衣的价格是x元，裤子的价格是上衣价格的，则裤子的价格是x元；一套运动服的价格是300元，即上衣的价格＋裤子的价格＝300元，列方程：x＋x＝300，解方程，即可解答。【详解】解：设上衣的价格是x元，则裤子的价格是x元。x＋x＝300x＝300x＝300÷x＝300×x＝200裤子：200×＝100（元）答：上衣的价格是200元，裤子的价格是100元。2．甲乙两车分别从A、B两地同时相向而行，当甲到达中点时，乙行了全程的，此时乙比甲少行30千米，A、B两地的路程是多少千米？【答案】300千米【分析】当甲到达中点时，甲行了全程的。此时乙行了全程的，比甲少行30千米，说明30千米是全程的（－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用30除以（－）即可求出A、B两地的路程是多少千米。【详解】＝30÷＝30×10＝300（千米）答：A、B两地的路程是300千米。【点睛】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此求出30千米是全程的几分之几是解题的关键。3．乐乐看一本书第一天看全书的，第二天看了全书的，第一天比第二天多看14页，这本书共有多少页？【答案】168页【分析】由题意可知，第一天看的页数比第二天多看了全书的（－），即14页，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用14除以（－）即可。【详解】14÷（－）＝14÷＝14×12＝168（页）答：这本书共有168页。【点睛】本题考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数，明确用除法是解题的关键。4．国家推行“双减”政策切实减轻了同学们的作业负担。欢欢做了记录，她现在每天的作业时间大约是过去的，比过去少12分钟。请你算一算，落实“双减”政策前小红每天花在作业上的时间是多少分钟？【答案】48分钟【分析】已知欢欢现在每天的作业时间大约是过去的，则把过去每天的作业时间看作单位“1”，现在每天的作业时间比过去少（1－），又已知现在每天的作业时间比过去少12分钟；根据分数除法的意义，用12÷（1－）即可求出过去每天的作业时间。【详解】12÷（1－）＝12÷＝12×4＝48（分钟）答：落实“双减”政策前小红每天花在作业上的时间是48分钟。【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。5．妈妈买回一袋大米，第一周吃了这袋大米的，第二周吃了这袋大米的，两周一共吃了18千克，这袋大米原来有多少千克？【答案】40千克【分析】由题意可知：这袋大米原来的总质量是单位“1”，求这袋大米原来的总质量，求单位“1”用除法计算，即已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。18千克所对应的分率是（＋），用18÷（＋）可求出这袋大米原来的千克数。【详解】18÷（＋）＝18÷（）＝18÷＝18×＝40（千克）答：这袋大米原来有40千克。【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，可以列方程解答或者用除法解答。用除法解答时要注意量率对应。6．聪聪看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩45页没有看，这本书一共多少页？（1）请在图上表示出“第二天看了全书的”和“剩下的45页”。（2）根据线段图，列式计算并解答。【答案】（1）见详解（2）120页【分析】（1）根据分数的意义，把整条线段看作单位“1”，平均分成8份，第一天看了全书的，即，第二天看的第二天看了全书的，其中2份表示第一天看的页数，3份表示第二天看的页数，剩下的为45页。据此解答。（2）根据题意，把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的，第二天看了全书的，则还剩（1－－）；还剩45页没有看，也就是45页占全书的（1－－），根据公式：对应量÷对应分率＝单位“1”。进而解决问题。【详解】（1）（2）45÷（1－－）＝45÷（－）＝45÷（－）＝45÷＝45×＝120（页）答：这本书一共120页。【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的意义以及分数除法的应用，找准对应量和对应分率是解题的关键。【考点四】工程问题。【典型例题1】“基础版”。修一条水渠，张师傅单独修要15天完成，李师傅单独修要12天完成。李师傅和张师傅合修，多少天能修完？【答案】天【分析】把这条水渠的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出张师傅、李师傅各自的工作效率，两人的工作效率相加即是合作工效；再根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”，求出两人合作修完这条水渠需要的天数。【详解】张师傅的工作效率：1÷15＝李师傅的工作效率：1÷12＝1÷（＋）＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝（天）答：天能修完。【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是解题的关键。【对应练习】1．一批玩具，甲组单独加工需要8天完成，乙组单独加工需要12天完成，甲乙两组合作，多少天能完成这批玩具的？【答案】4天【分析】将这批玩具看成单位“1”，则甲组每天完成这批玩具的1÷8＝，乙组每天完成这批玩具的1÷12＝；由此得出效率和为（＋），最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间，代入数据求出多少天能完成这批玩具的；据此解答。【详解】÷（1÷8＋1÷12）＝÷（＋）＝÷＝×＝4（天）答：4天能完成这批玩具的。【点睛】本题考查简单的工程问题，求出两组的效率和是解题的关键。2．加工一批零件甲单独做3小时完成六分之一，乙单独做12小时完成，现甲乙合作，需要完成全部零件的一半，共需多少小时？【答案】小时【分析】把这批零件总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用÷3和1÷12求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用除以两人的工作效率和，求得两人合作完成这批零件总量的一半需要的时间。【详解】÷3＝×＝1÷12＝÷（＋）＝÷＝×＝（小时）答：共需小时。【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。【典型例题2】“进阶版”。生产一批零件，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成。甲乙二人同时做，完成了任务的后，剩下的乙单独完成，还要几天？【答案】5天【分析】把这批零件看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲乙二人同时做，完成了任务的后，此时剩下的工作总量为（1－），再根据工作总量÷乙的工作效率＝工作时间，据此进行计算即可。【详解】＝＝＝5（天）答：还要5天。【点睛】本题考查分数除法，明确工作总量、工作时间和工作效率之间的关系是解题的关键。【对应练习】1．修一条水渠，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成，乙队先做了6天，剩下的甲、乙两队合修，还需要多少天才能完成？【答案】4天【分析】把这项工程总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷12和1÷15求得甲和乙各自的工作效率，然后根据工作总量＝工作时间×工作效率，用6×即可求出乙队工作6天的工作量，然后求出剩下的工作量为（1－6×），再工作时间＝工作总量÷工作效率和，求得两队合作完成剩下的工程量需要的时间。【详解】1÷12＝1÷15＝1－6×＝1－＝÷（＋）＝÷＝×＝4（天）答：还需要4天才能完成。【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。2．为了响应国家的乡村振兴计划，大池村计划修一条振兴路，聘请了两个工程队来修。甲队每天修它的，乙队每天修它的。甲队单独修了10天后，乙队接着也单独修了10天。（1）甲乙两队单独修了后，这条路还剩下多少？（2）剩下的由两队一起合修。还要几天才能修完这条路？【答案】（1）；（2）2天【分析】（1）把这条公路的长度看作单位“1”，则甲10天的的工作总量为，乙10天的的工作总量为，用单位“1”减去甲乙的工作总量，即可求出这条路还剩下几分之几。（2）用这条公路剩下的分率除以甲、乙的工作效率和即可解答。【详解】（1）答：这条路还剩下。（2）＝＝×12＝2（天）答：还要2天才能修完这条路。【点睛】此题解答的关键是把这条公路的长度看作单位“1”，进而求出剩余的工作量，再进一步解决问题。【典型例题3】“拓展版”。甲乙两人一起加工一批零件，5天可以完成，中途甲因事停工2天，因此两人共用了6天才能完成，如果甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？【答案】10天【分析】把零件总数看成单位“1”，甲乙合作的工作效率是。最后6天完成，甲停工2天，那么合作了6－2＝4天，求出合作4天的工作量，再用总工作量减去合作4天的工作量，就是乙2天的工作量，再除以2天，就是乙的工作效率；然后用合作的工作效率减去乙的工作效率就是甲的工作效率，进而求出甲独的工作时间。【详解】6－4＝2（天）＝1÷[]＝1÷[]＝1÷＝1×10＝10（天）答：如果甲单独加工这批零件，需要10天才能完成。【点睛】解题关键是要找到乙单独做2天的工作量，根据工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系进行求解。【对应练习】1．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现两人合作，若干天后，乙因事请假，甲继续做完，从开工到结束共用14天，甲、乙合作了多少天？【答案】9天【分析】把这项工程看作单位“1”，甲单独做20天，甲的工作效率是1÷20＝，乙单独做30天，乙的工作效率是1÷30＝，甲从开工到结束干了14天，甲14天的工作量是×14＝，用1减去甲14天的工作量，求出乙的工作量，再用乙的工作量÷乙的工作效率，即可求出乙工作的天数，也就是甲、乙合作的天数，据此解答。【详解】（1－×14）÷＝（1－）÷＝÷＝×30＝9（天）答：甲、乙合作了9天。【点睛】本题考查工程问题，利用工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，进行解答。2．修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？【答案】1天【分析】根据题意可知，工作总量为单位“1”，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，丙队的工作效率为，再根据“甲、乙、丙三队的工作效率和×天数＋乙、丙两队的工作效率和×（6－天数）＝1”，据此列方程解答即可。【详解】解：设三队总共修了x天，乙、丙两队总共修了（6－x）天。（＋＋）x＋（＋）（6－x）＝1x＋（6－x）＝1x＋－x＝1x＝x＝1；答：修这条公路甲队工作了1天。【点睛】明确单位“1”，进而确定甲队、乙队和丙队的工作效率，再根据工作总量、工作效率和工作时间的关系解答。【第三篇】分数乘除法应用题“拓展题型”【知识总览】单位“1”转化问题。分数乘除法应用题复杂题型主要以单位“1”转化问题为主，题型的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要分析题目已知条件，先统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率求出单位“1”。【考点一】基础型。【典型例题】1甲班人数比乙班人数多，乙班人数是甲班人数的（

）。A． B． C． D．解析：假设乙班人数为1，则甲班人数为1＋＝。1÷＝所以，乙班人数是甲班人数的。2.甲数的等于乙数的，甲数是乙数的（），乙数是甲数的（）。解析：甲数看作4份，乙数看作5份。【对应练习】1.桃树的棵数比苹果树多，是把()看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少()。【答案】苹果树棵数【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为1，则桃树的棵数是1×（1＋），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。【详解】桃树的棵数比苹果树多，是把苹果树棵数看作单位“1”。1×（1＋）＝1×＝（－1）÷＝÷＝×＝那么苹果树棵数比桃树少。【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。2.甲、乙两数之和是180，甲数的等于乙数的，甲、乙两数各是多少？解析：把甲数看作4份，乙数看作5份，则每一份：180÷（4+5）=20甲数：20×4=80乙数：20×5=100答：略。【考点二】一般型。【典型例题】某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？【答案】6吨【分析】方法1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总吨数－第一天卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数；方法2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩下的，那么第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－），第二天卖完之后剩下2吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数求出这批水果的总吨数，据此解答。【详解】方法1：解：设这批水果一共x吨。x－－（x－）×＝2x－－x＋×＝2x－x－＋×＝2x－＋＝2x－（－）＝2x－＝2x＝2＋x＝x＝÷x＝×x＝6答：这批水果一共6吨。方法2：2÷（1－）＋＝2÷＋＝2×＋＝＋＝6（吨）答：这批水果一共6吨。【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分率是解答题目的关键。【对应练习】一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？【答案】500米【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－第二天修了全长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全长的几分之几）×第二天修了余下的几分之几，代入数值计算即可。【详解】300÷[1－－（1－）×]＝300÷[1－－×]＝300÷[1－－]＝300÷＝500（米）答：这段路全长500米。【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。【考点三】分率和与分量差。【典型例题】1.依依从家去外婆家，第一个小时走了全程的，第二个小时走了剩下路程的，已知第一个小时比第二个小时多走了1050米，依依家与外婆家相距多少千米？【答案】4.8千米【分析】第二个小时走了剩下路程的，也就是的，求出第一个小时比第二个小时多走了1050米相当于是全程的，量率对应求出依依家与外婆家的距离。【详解】（米）4800米＝4.8千米答：依依家与外婆家相距4.8千米。【点睛】本题考查的是分数除法应用题，一个量除以其所占单位“1”的分率，求得单位“1”是多少。2.甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？解析：（1－）×＝×＝26÷（＋）＝26÷＝30（个）答：这批零件原来共有30个。【对应练习】1.李阿姨闲来无事看小说，她第一天看了全书的，第二天看的剩下的，李阿姨算了一下，第二天刚好比第一天少看了20页，这本小说一共有多少页？解析：解：设这本小说一共有x页。x－（1－）x×＝20x－x＝20x＝20x＝420答：这本小说一共有420页。2.一批煤第一天烧去这批煤的，第二天烧去余下的，两天共烧去2吨，这堆煤共多少吨？解析：第一天烧去：第二天烧去：（1-）×=这批煤共有：2÷（+）=（吨）答：略。【考点四】拓展型。【典型例题】1.甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？解析：甲修了全部的÷（1＋）＝乙修了全部的；丙修了全部的；丁修了全部的：1－－－＝；全长：68÷＝（米）答：这条路全长米。2.橘子的千克数是苹果的，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共220千克，橘子有多少千克？解析：方法一：求橘子的数量，把橘子看做单位“1”。①橘子是苹果的，则苹果是橘子的②香蕉是橘子的③苹果和香蕉一共占橘子的+=2橘子的数量是：220÷2=110（千克）答：略。方法二：把苹果看作单位“1”，则橘子是，香蕉是×=每一份（即苹果）：220÷（1+）=165（千克）橘子：165×=110（千克）答：略。方法三：把橘子看作2份，苹果看作3份，则香蕉是1份。每一份：220÷（1+3）=55（千克）橘子：55×2=110（千克）答：略。3.某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？解析：100×（1－）＝100×＝80（名）80÷（1－）＝80＝95（名）95－80＝15（名）答：正式参赛的女生有15名。【对应练习】1.一盆金鱼，红鱼是总数的，黑鱼是红鱼的，其余的是24条花鱼，红鱼有多少条？解析：红鱼是总数的，则黑鱼是总数的×=，剩下的花鱼是总数的1--=总数是：24÷=40（条）红鱼：40×=10（条）答：略。2.甲存款是乙存款，乙存款是丙存款的，甲比丙少存70元，求三人各存款多少元？解析：把甲看作9份，乙看作10份，则丙是12.5份每一份：70÷（12.5-9）=20（元）甲：9×20=180（元）乙：10×20=200（元）丙：12.5×20=250（元）答：略。3.某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的，如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的，甲、乙两班原来各有多少人？解析：3÷(-)=108(人)乙班：108÷(l+)=63(人)甲班：63×=45(人)【第四篇】比的应用——求比和按比例分配问题【知识总览】一、在实际问题中求比。在实际问题中求比，利用比和分数的转化关系，找出对应份数，再根据实际情况求出对应比。二、按比例分配问题。1.按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基础题型，总体来说，三种问题解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。2.按比例分配问题主要存在两种解答方法：其一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出各部分数量是多少。其二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解答。【考点一】在实际问题中求比。【典型例题1】分数与比。1.女同学人数是男同学的。（1）男、女同学人数之比是()，女同学和总人数之比是()。（2）男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。【答案】（1）5∶4；4∶9（2）；【分析】（1）根据“女同学人数是男同学的”，把女同学的人数看作4份，男同学的人数看作5份，总人数是4＋5＝9份，由此写出男、女同学人数之比；女同学人数和总人数之比；（2）用男同学人数的份数减去女同学人数的份数，再除以女同学人数的份数求出男同学人数比女同学多几分之几；男同学人数的份数减去女同学人数的份数，再除以男同学人数的份数求出女同学人数比男同学少几分之几。【详解】（1）把女同学的人数看作4份，男同学的人数看作5份，则总人数是4＋5＝9份即男、女同学人数之比是5∶4，女同学和总人数之比是4∶9。（2）（5－4）÷4＝1÷4＝（5－4）÷5＝1÷5＝则男同学人数比女同学多，女同学人数比男同学少。【点睛】关键是把比看作份数，再根据比的意义和求比一个数多（或少）几分之几的计算方法进行解答。2.实验小学六（3）班男生人数比女生人数多，则男生人数是女生人数的()，女生人数比男生人数少()，女生人数与全班人数的比是()。【答案】3∶7【分析】把女生的人数看作单位“1”，则男生人数有1×（1＋）；然后用男生人数除以女生人数即可；先求出女生人数比男生人数少多少，再除以男生人数即可；用女生人数比上全班人数即可。【详解】假设女生的人数为1。1×（1＋）＝1×＝÷1＝（－1）÷＝÷＝×＝1∶（1＋）＝1∶＝（1×3）∶（×3）＝3∶7则男生人数是女生人数的，女生人数比男生人数少，女生人数与全班人数的比是3∶7。【点睛】本题考查比的意义和求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法计算是解题的关键。3.甲数的和乙数的相等，则甲∶乙＝()∶()，比值是()。【答案】45/0.8【分析】根据分数乘法的意义，可知甲数×＝乙数×，假设甲数×＝乙数×＝1，分别求出甲数和乙数，再写出它们的比即可。求比值用比的前项除以比的后项即可。【详解】假设甲数×＝乙数×＝1。甲：1÷＝1×4＝4乙：1÷＝1×5＝54÷5＝甲∶乙＝4∶5，比值是。【点睛】本题主要考查了比和分数的混合应用，掌握求比值和分数除法的计算方法是解答本题的关键。4.公鸡与母鸡只数的比是8∶9，公鸡比母鸡少()，母鸡比公鸡多()，公鸡占总只数的()，母鸡占总只数的()。【答案】【分析】已知公鸡与母鸡只数的比是8∶9，则把公鸡的只数看作8份，母鸡的只数看作9份；根据求一个数比另一个数多（少）几分之几，用相差数除以另一个数，则用（9－8）÷9即可求出公鸡比母鸡少几分之几；用（9－8）÷8即可求出母鸡比公鸡多几分之几；根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用8÷（8＋9）即可求出公鸡占总只数的几分之几；用9÷（8＋9）即可求出母鸡占总只数的几分之几。【详解】（9－8）÷9＝1÷9＝（9－8）÷8＝1÷8＝8÷（8＋9）＝8÷17＝9÷（8＋9）＝9÷17＝公鸡比母鸡少，母鸡比公鸡多，公鸡占总只数的，母鸡占总只数的。【点睛】本题主要考查了比和分数的关系，明确求一个数比另一个数多（少）几分之几，以及求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。【对应练习】1．弟弟的体重比哥哥轻，弟弟与哥哥的体重比是()。【答案】9∶10【分析】把哥哥的体重看作单位“1”，弟弟的体重比哥哥轻，则弟弟的体重是哥哥的（1－）；根据比的意义写出弟弟与哥哥的体重比，再化简比即可。【详解】（1－）∶1＝∶1＝（×10）∶（1×10）＝9∶10弟弟与哥哥的体重比是9∶10。【点睛】本题考查比的意义以及化简比，求出弟弟的体重是哥哥体重的几分之几是解题的关键。2．甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是()。【答案】8∶5【分析】根据题意可得出：甲数×＝乙数×，设它们的积都等于1；然后根据因数＝积÷另一个因数，分别求出甲数、乙数的值，再根据比的意义，写出甲数与乙数的比，并化简成最简整数比。【详解】设甲数×＝乙数×＝1；甲数＝1÷＝1×4＝4乙数＝1÷＝1×＝甲数∶乙数＝4∶＝（4×2）∶（×2）＝8∶5甲数与乙数的最简整数比是8∶5。【点睛】本题考查比的意义以及化简比，运用赋值法，根据乘法中各部分的关系求出甲数、乙数的值是解题的关键。3．甲、乙两数的比是2∶5，则甲数是乙数的。乙数是甲乙两数和的。【答案】；【分析】根据题意，甲、乙两数的比是2∶5，设甲数是2，乙数是5，用2÷5，求出甲数是乙数的几分之几；用5÷（2＋5），求出乙数是甲乙两数和的几分之几，据此解答。【详解】设甲数是2，乙数是5；2÷5＝5÷（2＋5）＝5÷7＝甲、乙两数的比是2∶5，则甲数是乙数的。乙数是甲乙两数和的。【点睛】熟练掌握比的意义以及求一个数占另一个数的几分之几的计算方法是解答本题的关键。4．六（1）班女生人数是男生人数的，女生人数与全班人数的比是()，男生人数比女生人数多。【答案】2∶5；【分析】由题意可知，六（1）班女生人数是男生人数的，则假设女生的人数为2，男生的人数为3，则全班的人数为（2＋3），然后用女生人数比上全班人数即可；先求出男生人数比女生人数多多少人，再除以女生的人数即可。【详解】假设女生的人数为2，男生的人数为32∶（2＋3）＝2∶5（3－2）÷2＝1÷2＝则女生人数与全班人数的比是2∶5，男生人数比女生人数多。【点睛】本题考查比的意义，结合分数的意义是解题的关键。【典型例题2】比与生活问题。50克糖和300克水制成的糖水，糖与糖水的最简整数比是()∶()。【答案】17【分析】已知用50克糖和300克水制成的糖水，先用糖的质量加上水的质量，求出糖水的质量；再根据比的意义，写出糖与糖水的质量比，最后化简比即可。【详解】50∶（50＋300）＝50∶350＝（50÷50）∶（350÷50）＝1∶7糖与糖水的最简整数比是1∶7。【点睛】本题考查比的意义和化简比，注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。【对应练习】1．将盐溶解在水中，盐与盐水的质量比是()∶()。【答案】17【分析】将盐的质量加上水的质量，求出盐水的质量。将盐的质量比上盐水的质量，求出盐与盐水的质量比。【详解】20∶（20＋120）＝20∶140＝（20÷20）∶（140÷20）＝1∶7所以，盐与盐水的质量比是1∶7。【点睛】本题考查了比，掌握比的意义和比的化简是解题关键。2．一款手机的广告语是“充电5分钟，通话2小时”，那么这款手机在这种情况下通话时间与充电时间的比是()。【答案】24∶1【分析】先把高级单位换算为低级单位，再根据比的意义化简求出通话时间与充电时间的最简整数比，据此解答。【详解】通话时间∶充电时间＝2小时∶5分钟＝（2×60）分钟∶5分钟＝120分钟∶5分钟＝120∶5＝（120÷5）∶（5÷5）＝24∶1所以，这款手机在这种情况下通话时间与充电时间的比是24∶1。【点睛】掌握比的意义和化简比的方法是解答题目的关键。【典型例题3】比与工程问题。完成一份稿件，甲用小时，乙用小时，甲、乙的工作效率的最简整数比是()，甲、乙的工作时间的最简整数比是()。【答案】3∶55∶3【分析】把这份稿件看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，然后写出甲、乙的工作效率的比和工作时间的比，再化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变；据此解答。【详解】1÷＝1×＝1÷＝1×＝∶＝（×2）∶（×2）＝3∶5∶＝（×）∶（×）＝5∶3甲、乙的工作效率的最简整数比是3∶5，甲、乙的工作时间的最简整数比是5∶3。【点睛】此题主要考查了化简比的方法，要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。【对应练习】1．加工同一批零件，师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成要12小时。如果师徒两人合作完成任务需要()小时，师徒二人的工作效率之比是()。【答案】4.83∶2【分析】把加工这批零件的工作量看作单位“1”，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出师傅和徒弟的工作效率，两人合作后，把两人工作效率相加，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和即可解答；再根据比的意义，用师傅的工作效率比徒弟的工作效率可求出师徒的工作效率比。【详解】1÷8＝1÷12＝1÷（＋）＝1÷＝1×＝4.8（小时）如果师徒两人合作完成任务需要4.8小时。∶＝（×24）∶（×24）＝3∶2师徒二人的工作效率之比是3∶2。【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。2．如图是甲、乙、丙三人完成一项工程所用的时间，甲和丙的工作效率比是()：()，乙和丙合作完成这项工程需要()天。【答案】546【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别用1÷8、1÷15和1÷10即可求出甲、乙和丙的工作效率，据此写出甲和丙的工作效率比，再化简即可；根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，用1除以乙和丙的工作效率和，即可求出乙和丙合作完成这项工程需要的时间。据此解答。【详解】1÷8＝1÷15＝1÷10＝∶＝（×40）∶（×40）＝5∶41÷（＋）＝1÷＝1×6＝6（天）甲和丙的工作效率比是5∶4；乙和丙合作完成这项工程需要6天。【点睛】本题主要考查了分数除法的应用以及最简整数比，熟练掌握相关公式是解答本题的关键。【典型例题4】比与行程问题。1.一段路，甲6分钟走完，乙8分钟走完，甲、乙走完这段路的时间比是()，他们的速度比是()。【答案】3∶44∶3【分析】要求甲、乙走完这段路的时间比，用甲走完这段的时间∶乙走完这段路的时间，化简即可；把这段路的长度看作单位“1”，甲6分钟走完，甲的速度是1÷6＝；乙8分钟走完，乙的速度1÷8＝，求他们的速度比，用甲的速度∶乙的速度，化简即可。【详解】6∶8＝（6÷2）∶（8÷2）＝3∶4（1÷6）∶（1÷8）＝∶＝（×24）∶（×24）＝4∶3一段路，甲6分钟走完，乙8分钟走完，甲、乙走完这段路的时间比是3∶4，他们的速度比是4∶3。【点睛】本题考查比的意义，比的化简以及利用速度、时间、路程三者的关系进行解答。2.小华和小刚分别从各自的家到电影院看电影，小华比小刚走的路程少，而小刚比小华花的时间多，求两人的速度比。解析：小刚路程：1；小华路程：；小华时间：1；小刚时间：小刚速度：1÷=；小华速度：÷1=速度比：:=6:5【对应练习】1．从A地到B地，甲车用7时，乙车用9时，甲、乙两车所用的时间比是()，速度比是()。【答案】7∶99∶7【分析】用甲车所用的时间比上乙车所用的时间即可；把A地到B地的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，据此可知甲的速度为，乙的速度为，进而求出它们的速度比，最后根据比的基本性质化简即可。【详解】甲所用的时间∶乙所用的时间＝7∶9∶＝（×63）∶（×63）＝9∶7则从A地到B地，甲车用7时，乙车用9时，甲、乙两车所用的时间比是7∶9，速度比是9∶7。【点睛】本题考查比的意义，明确路程、时间和速度之间的关系是解题的关键。2．楠楠和凯凯分别从学校去博物馆，楠楠走了15分钟，凯凯走了18分钟，楠楠和凯凯的时间比是()，速度比是()。【答案】5∶66∶5【分析】将路程看作单位“1”，时间分之一可以看作速度，根据比的意义，写出两人时间比和速度比，化简即可。【详解】15∶18＝（15÷3）∶（18÷3）＝5∶6∶＝18∶15＝6∶5楠楠和凯凯的时间比是5∶6，速度比是6∶5。【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解比的意义，掌握化简比的方法。3．从图书