期末典例专练23：长方体、正方体的表面积和体积应用综合“拓展版”-2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列（解析版）苏教版

第第页2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列期末典例专练23：长方体、正方体的表面积和体积应用综合“拓展版”1．一个高是20厘米的长方体容器中盛满了水，现在倒去150毫升，那么水面下降5厘米。原来容器中共有多少毫升水？

【答案】600毫升【分析】根据题意可知，倒去的体积＝水面下降部分的体积，先把150毫升化为150立方厘米，再根据长方体的体积＝底面积×高，用150÷5即可求出长方体容器的底面积，再根据长方体的体积公式，用长方体容器的底面积×20，即可求出容器的容积，最后把单位换算成毫升。【详解】150毫升＝150立方厘米150÷5＝30（平方厘米）30×20＝600（立方厘米）600立方厘米＝600毫升答：原来容器中共有600毫升水。【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。2．一个棱长15分米的正方体水槽中装有水，水深10分米。现将一块长9分米，宽10分米的长方体钢锭浸没在水中，水面上升了3分米，钢锭的高是多少分米？【答案】7.5分米【分析】根据物体的体积等于上升部分水的体积，物体的体积＝长×宽×上升部分的高度，用15×15×3即可求出长方体钢锭的体积。再根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体钢锭的体积÷9÷10即可求出钢锭的高，据此解答。【详解】15×15×3＝675（立方分米）675÷9÷10＝7.5（分米）答：钢锭的高是7.5分米。【点睛】本题主要考查了长方体、正方体体积公式的灵活应用，注意物体的体积等于上升部分水的体积。3．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽5分米，高4分米，水深2.5分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，是否有水溢出，如果有水溢出，水溢出多少升？【答案】有水溢出；水溢出4升【分析】先根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出玻璃缸的容积、水的体积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积；再比较“水与铁块的体积和”和玻璃缸容积的大小，若“水与铁块的体积和”大于玻璃缸的容积，则有水溢出；最后用“水与铁块的体积和”减去玻璃缸的容积，求出溢出的水的体积。【详解】玻璃缸的容积：8×5×4＝40×4＝160（立方分米）水与铁块的体积和：8×5×2.5＋4×4×4＝40×2.5＋16×4＝100＋64＝164（立方分米）164＞160，所以有水溢出。164－160＝4（立方分米）4立方分米＝4升答：有水溢出，水溢出4升。【点睛】解决此类问题关键要明确放入的物体和水的体积和与容器的容积的大小关系。4．一个长方形的铁皮，长8分米、宽6分米，如果从铁皮的四个角上各剪去一个边长2分米的正方形，做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方厘米？【答案】16000立方厘米【分析】如图所示，长方体的长＝长方形的长－正方形的边长×2，长方体的宽＝长方形的宽－正方形的边长×2，长方体的高等于正方形的边长，利用“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”求出这个盒子的容积，最后把单位转化为“立方厘米”，据此解答。【详解】长：8－2×2＝8－4＝4（分米）宽：6－2×2＝6－4＝2（分米）高：2分米4×2×2＝16（立方分米）16立方分米＝16000立方厘米答：这个盒子的容积是16000立方厘米。【点睛】分析题意求出长方体的长、宽、高，并掌握长方体的体积（容积）计算公式是解答题目的关键。5．一块面积为6.5平方分米的正方形木板如右图竖直放置，现让这块木板向右平移4.3分米，它扫过的空间形成的立体图形体积是多少立方分米？

【答案】27.95立方分米【分析】看图，它扫过的空间形成了一个长方体，这个长方体的底面积是6.5平方分米，高是4.3分米。将底面积乘高，求出这个长方体的体积即可。【详解】6.5×4.3＝27.95（立方分米）答：它扫过的空间形成的立体图形体积是27.95立方分米。【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。6．把下图的木块平均分成两块，两块木块的表面积的和比原来木块的表面积增加了多少平方厘米？

【答案】96平方厘米【分析】根据题意可知，木块平均分成两块，表面积增加了2个长方形面，长方形的长为8厘米，宽为6厘米，根据长方形的面积公式，用6×8×2即可求出增加的表面积。【详解】6×8×2＝96（平方厘米）答：两块木块的表面积的和比原来木块的表面积增加了96平方厘米。【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼，注意表面积增加了哪些面。7．计算图中大球和小球的体积。（单位：厘米）【答案】50立方厘米；25立方厘米【分析】观察图2，2个大球和1个小球完全浸没在水里后，2个大球和1个小球的体积之和＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为5厘米，宽为5厘米，高为5厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，可求出2个大球和1个小球的体积之和；观察图3，接着放入5个小球，5个小球完全浸没在水里后，5个小球的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为5厘米，宽为5厘米，高为（10－5）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，可求出5个小球的体积，除以5求出1个小球的体积，再代入前面的关系式中，求出1个大球的体积。据此解答。【详解】5×5×5＝125（立方厘米）5×5×（10－5）＝25×5＝125（立方厘米）125÷5＝25（立方厘米）（125－25）÷2＝100÷2＝50（立方厘米）答：大球的体积是50立方厘米，小球的体积是25立方厘米。【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。8．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？【答案】600立方厘米【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。【详解】10－4＝6（厘米）10×10×6＝600（立方厘米）答：这个长方体的体积是600立方厘米。【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。9．一个长方体水箱，长为6分米，宽为4分米，水深5分米，当把一个铁块放入水箱后（铁块完全浸没），水位上升到5.5分米。这个铁块的体积是多少立方分米？【答案】12立方分米【分析】铁块完全浸没在水里后，铁块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为6分米，宽为4分米，高为（5.5－5）分米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。【详解】6×4×（5.5－5）＝24×0.5＝12（立方分米）答：这个铁块的体积是12立方分米。【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。10．一个长方体鱼缸，从里面量底面长40厘米，宽3分米，水面与鱼缸口的距离是1.5分米，妈妈买了一块盆景假山（完全浸没）放入后，水面与鱼缸口的距离是0.7分米。这块盆景假山的体积是多少？（可以试着先画图，再解答）【答案】画图见详解；9600立方厘米【分析】由题意可知：水面上升的那部分水的体积就是放入的盆景假山的体积。先用原来水面与鱼缸口的距离减去放入假山后水面与鱼缸口的距离，求出水面上升的高度；再用容器的长×宽×水面上升的高度即可求出这块盆景假山的体积。【详解】画图如下：3分米＝30厘米1.5分米＝15厘米0.7分米＝7厘米40×30×（15－7）＝40×30×8＝1200×8＝9600（立方厘米）答：这块盆景假山的体积是9600立方厘米。【点睛】用排水法求不规则物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度是解题的关键。11．一块正方体钢材，体积为4.5立方分米。现把这块正方体钢材锻铸成长方体，已知锻铸的长方体的横截面是周长为24厘米的正方形，这个长方体的长是多少米？【答案】1.25米【分析】4.5立方分米＝0.0045立方米，把钢材锻铸成长方体，体积不变，已知长方体的横截面是周长为24厘米的正方形，根据正方形的周长公式，用24÷4即可求出正方形的边长，把单位换算成米，也就是0.06米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用0.0045÷0.06÷0.06即可求出长方体的长。据此解答。【详解】4.5立方分米＝0.0045立方米24÷4＝6（厘米）6厘米＝0.06米0.0045÷0.06÷0.06＝0.0045÷（0.06×0.06）＝0.0045÷0.0036＝1.25（米）答：这个长方体的长是1.25米。【点睛】主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意单位换算。12．将一块长是12厘米、宽是7.5厘米的长方体石块完全浸没在一个棱长是15厘米、水深8厘米的正方体水槽中（水未溢出），水面上升了5厘米，石块的高是多少厘米？【答案】12.5厘米【分析】根据题意知：石块的体积相当于底面积为15×15＝225平方厘米，高为5厘米的水的体积。根据长方体体积＝底面积×高，将数据代入即可求得石块的体积，再用体积除以石块底面积（12×7.5），可得石块的高。据此解答。【详解】15×15×5÷（12×7.5）＝1125÷90＝12.5（厘米）答：石块的高是12.5厘米。【点睛】此题考查了长方体体积公式的灵活运用。13．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？【答案】20立方厘米【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。【详解】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2＝27－9＋2＝20（立方厘米）答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米。【点睛】在一个长方体或正方体上切（或挖）长方体或正方体，体积会减少，外表面减少，里面即多出了表面积，计算过程要防止重复减的情况。14．李师傅做了一个长6分米，宽4分米、高5分米的长方体玻璃鱼缸（无盖）。（1）做这个鱼缸至少用多少平方分米的玻璃？（2）如果将96升水倒入鱼缸，水深多少分米？（3）将一块装饰石块放入水中（完全浸没在水中），这时水面上升了0.5厘米，这块装饰石块的体积是多少立方分米？【答案】（1）124平方分米；（2）4分米；（3）1.2立方分米【分析】（1）长方体玻璃鱼缸缺少一个上底面，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出做这个鱼缸至少用多少平方分米的玻璃。（2）根据长方体的体积公式：V＝Sh，先换算单位，用倒入水的体积除以鱼缸的底面积，即可求出水的深度。（3）装饰石完全浸没在水里后，装饰石的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为6分米，宽为4分米，高为0.5厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入即可得解。【详解】（1）6×4＋6×5×2＋4×5×2＝24＋60＋40＝124（平方分米）答：做这个鱼缸至少用124平方分米的玻璃。（2）96升＝96立方分米96÷（6×4）＝96÷24＝4（分米）答：水深4分米。（3）0.5厘米＝0.05分米6×4×0.05＝1.2（立方分米）答：这块装饰石块的体积是1.2立方分米。【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积公式的应用，掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用公式解决问题。15．上戈苹果是洛宁县地方特产，由于地理位置优越，生产的苹果色泽鲜艳，果皮薄细，含水量多且甜脆可口。因此吸引大量游客来采摘游玩。国庆节期间，淘气和笑笑也去采摘了苹果。看到又大又红的苹果，他们想利用所学知识来测量一个苹果的大小，因此他们选了4个差不多大的苹果做了如下实验：①用天平称出四个苹果的质量是850克；②从一个长方体容器的里面测量出长、宽分别是30厘米、10厘米；③从长方体容器的里面测量出高是15厘米；④在容器里注入一定量的水，量出水面的高度是6厘米；⑤将4个苹果浸没在水中（无溢出），量出水面高度是9厘米。（1）要求一个苹果的体积，上面哪些信息是必须的？将序号填在括号里（

）。（2）根据选出的信息求出一个苹果的体积。【答案】（1）②④⑤；

（2）225立方厘米【分析】（1）求不规则物体的体积可以用排水法，水面上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积，即容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积。要想求出容器的底面积就需要知道长方体容器里面的长、宽的数值，所以条件②是必须的；用条件⑤中的水面高度减去条件④中的水面高度，可以求出水面上升的高度，所以条件④⑤是必须的。（2）先用容器里面的长×宽×水面上升的高度可求出4个苹果的体积；再用4个苹果的体积和÷4求出一个苹果的体积。【详解】（1）根据②可知容器里面的长、宽的数值，根据④⑤可知水面上升的高度，所以②④⑤这三条信息是必须的。（2）30×10×（9－6）÷4＝300×3÷4＝900÷4＝225（立方厘米）答：一个苹果的体积是225立方厘米。【点睛】用排水法求不规则物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度是解题的关键。16．小明的爸爸被称为“制作小能手”。爱心福利院要改善孩子们的居住环境，想请小明的爸爸制作一个长0.6米，宽0.5米，高0.4米的无盖鱼缸。现在他家里有好多块下面四种型号的长方形与正方形玻璃。请你根据上面的信息解决下面的问题：（1）请你帮助小明的爸爸想一想，需要选哪种型号的玻璃，各选多少块？（2）请你算一算，小明的爸爸做这个鱼缸，一共需要多少平方米的玻璃？（3）要使这个鱼缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？【答案】（1）2块②号、2块③号、1块④号；（2）1.18平方米；（3）105升【分析】（1）无盖玻璃鱼缸长0.6米，宽0.5米，高0.4米，需要长0.6米，宽0.5米的玻璃1块；长0.5米，宽0.4米的玻璃2块；长0.6米，宽0.4米的玻璃2块；（2）根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出长方体的表面积，需要玻璃的面积＝长方体的表面积－长方体的底面积；（3）倒入水的体积＝玻璃鱼缸的底面积×鱼缸里水的深度，最后把单位转化为升即可。【详解】（1）②号玻璃和③号玻璃各需要2块，④号玻璃需要1块；（2）（0.6×0.5＋0.6×0.4＋0.5×0.4）×2－0.6×0.5＝（0.3＋0.24＋0.2）×2－0.6×0.5＝0.74×2－0.6×0.5＝1.48－0.3＝1.18（平方米）答：一共需要1.18平方米的玻璃。（3）0.6×0.5×0.35×1000＝0.3×0.35×1000＝0.105×1000＝105（升）答：需要倒入105升水。【点睛】本题主要考查长方体的特征以及长方体表面积和体积公式的应用，解题过程中要注意单位换算。17．只列式，不计算。小红想用废弃的纸皮制作一个长方体抽纸盒，抽纸盒长20厘米、宽12厘米、高8厘米，上面有一个长12厘米、宽5厘米的长方形口（如图）。（1）制作这个抽纸盒至少需要纸皮多少平方厘米？（接口处忽略不计）（2）这个抽纸盒的占地面积是多少平方厘米？（3）这个抽纸盒的体积是多少立方厘米？【答案】（1）（20×12＋20×8＋12×8）×2－12×5（2）20×12（3）20×12×8【分析】（1）根据题意可知，制作这个抽纸盒至少需要纸皮的面积＝长方体的表面积－长方形口的面积，其中长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽。（2）求这个抽纸盒的占地面积，就是求长方体纸盒的底面积，用“长×宽”解答。（3）根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出这个抽纸盒的体积。【详解】（1）（20×12＋20×8＋12×8）×2－12×5＝（240＋160＋96）×2－60＝496×2－60＝992－60＝932（