专题29 圆锥曲线的轨迹问题5种常见考法归类（解析版）

专题29圆锥曲线的轨迹问题5种常见考法归类一、求动点轨迹方程的一般步骤——“五步到位法”建（建立适当的坐标系）；设（设轨迹上的动点为）；列（列出动点所满足的条件式）；代（依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为的方程式）；化（化简所得的方程）．这就是通常所说的“建系、设点、列式、代换、化简”等步聚．从理论上讲，我们还应证明所得轨迹的完备性及纯粹性，其实推导方程的过程便是完备性的证明，而纯粹性的证明常略去，值得强调的是：既然论证略去了，那么我们必须考虑曲线上哪些点不合条件应除掉，通常运用限制方程中的取值范围的方法，还要指出的是，如果所求轨迹曲线不完备，那么也要运用条件分析、挖掘将其补上．二、解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.三、求动点轨迹方程的基本方法求动点轨迹方程的基本思想方法是，藉助于坐标法．使几何的点集与代数的方程对应起来．因此它的实质是形数对应、形数结合与转化的思想方法的一个具体的应用．求轨迹方程的方法比较多，但从宏观上说不外乎两个途径：一是利用平面几何知识和圆锥曲线的定义，这类题目对计算的要求不髙，主要考查观察、联想的能力；二是利用代数的方法通过消参数得出轨迹方程，计算、对式子的变形是解决问题的关键．根据动点的不同的运动性质和规律，常用的解题方法有：1、直接法求动点的轨迹方程（1）定义如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．（2）直接法求动点轨迹方程的一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式,列出动点P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.2、定义法求曲线轨迹方程若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．注：常见情形（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．（4）平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：①若a>c,则集合P为椭圆；②若a＝c,则集合P为线段；③若a<c,则集合P为空集．（5）平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；③当2a>|F1F2|时,P点不存在．（6）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．注意：①定直线l不经过定点F.②定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.（7）一般涉及到动圆与两定圆相切问题(包括内切、外切)，利用定义求圆心轨迹，轨迹为椭圆或双曲线，主要确定和还是差能消去动圆半径r。（8）如图，圆的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆。（9）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线。(10)已知定点F和定直线，F不在直线上，动圆M过F且与直线相切，则圆心M的轨迹是一条抛物线。(11)平面内与一定点和一条定直线（不经过点）距离之比对于常数的动点的轨迹是圆锥曲线．当时为椭圆；当时为双曲线；当时为抛物线．其中，定点叫做圆锥曲线的焦点，定直线叫做圆锥曲线的准线．3、相关点法求曲线轨迹方程若动点的变动依赖于另一动点，而在某已知曲线（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点叫做轨迹动点，主动点叫做点的相关点），求出关系式（*），并代入方程，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，又叫代入法、代换法或转移法．这是求轨迹方程的一种常用的重要方法．此法的关键是，构建用轨迹动点的坐标表示其相关点的坐标（即向的转移）的关系式（*）．注：“相关点法”求轨迹方程的基本步骤一般分为三步：第一步，设所求轨迹的点，曲线上的动点；第二步，找出与的关系，由表示，即；第三步，满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．而从动点的坐标来表达主动点的坐标的方法较多，一般采用以下几种方法进行转移：①利用定义；②利用参数；③利用向量；④利用相关公式；⑤利用对称知识等．下面举例说明．4、参数法求曲线轨迹方程有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响．注：1、参数法求动点的轨迹方程一般步骤（1）选择坐标系，设动点坐标；（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；（3）建立参数方程；（4）消去参数得到普通方程；（5）讨论并判断轨迹．常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法（）等．要特别注意：消参前后变量的取值范围不能改变．2、参数法求动点的轨迹方程应用举例利用参数求动点轨迹方程，关键是如何合理地选择参数，以及使用参数求动点轨迹方程还应注意哪些问题题．（1）如何选择参数求动点轨边方程利用参数是求动点轨迹的重要方法，而参数选择的恰当与否，直接影响着解题速度和解题质量．若考察轨迹上点的变动因素，通常可取点的坐标或角度或有向线段作为参数；若所求的轨迹上的点可看作经过某定点的直线束上的点，常以直线束的斜率为参数．（2）选择参数的几点注意事项：①点的坐标、角、直线斜率等均可选作参数，且选择的参数越少越好；②所选参数最好能表示所有与动点有关的点的坐标或直线方程；③若选择了一个参数，则必须且只需列两个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；若选择了两个参数，则必须且只需列三个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；也就是说，若选择了个参数，则必须且只需列个方程，然后消去这个参数，即可得到动点轨迹方程．5、交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.注：（1）求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程，关键是参数的选取，困难是参数的消去．怎么把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程？如何选取参数？怎样消去参数？如果动点影响动点的轨迹，起制约作用，那么就选取动点为参数．如果动直线的斜率影响动点的轨迹，起制约作用，那么就选取动直线的斜率为参数．如果动直线在轴上的截距影响动点的轨迹，起制约作用，那么就选取动直线在轴上的截距为参数．如果动直线的倾斜角影响动点成迹，起制约作用，那么就选取动直线的倾斜角为参数考点一直接法求曲线轨迹方程考点二定义法求曲线轨迹方程考点三相关点法求曲线轨迹方程考点四参数法求曲线轨迹方程考点五交轨法求曲线轨迹方程考点一直接法求曲线轨迹方程1．（2023·广东广州·高二期末）已知的周长为，顶点、的坐标分别为、，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【解析】由已知可得，，且、、三点不共线，故点的轨迹是以、为焦点，且除去长轴端点的椭圆，由已知可得，得，，则，因此，点的轨迹方程为.故选：D.2．2023·湖北黄冈·高二期末）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程.【答案】【分析】求得点坐标，设出点坐标，根据直线与的斜率之积等于列方程，化简后求得动点P的轨迹方程.【详解】点B与点关于原点O对称，所以.设点P的坐标为.由题意得，化简得，故动点P的轨迹方程为.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查点关于原点对称点的求法，属于基础题.3．（2023·贵州贵阳·高二期末（文））平面直角坐标系内动点M（）与定点F（4，0）的距离和M到定直线的距离之比是常数，则动点M的轨迹是___________．【解析】动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，根据题意得，点的轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得．所以，动点的轨迹是长轴长、短轴长分别为12、的椭圆．故答案为：．4．（2023·河北邯郸·高二期末）已知动点Q到点的距离与到直线的距离之比为，Q点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知，，A，B为曲线C上异于M，N的两点，直线，相交于点T，点T在直线上，问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标：若不过定点，请说明理由.【解析】(1)设，则，化简，得，∴曲线C的方程为.(2)设，，则，，∴，，，.①当直线垂直于y轴时，由对称性可知，直线，交于y轴，不合题意，舍去.②当直线不垂直于y轴时，设直线的方程为.联立，得.依题意，，.∴，，∴.又，，∴直线的方程为，直线的方程为.依题意，设.∵点T为直线，的交点，∴，∴，即，，又∵，∴，化简，得.又满足，直线的方程为，∴直线过定点.5．（2023·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，求点的轨迹方程.【答案】．【分析】设，由，得，再由，得到，即可求解点的轨迹方程.【详解】设，则，……①，…②由①②可知，点的轨迹方程为.6．（2023·山东临沂·高二期末）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（1,0），设Q（3，t），P（m，n），则，.由得3m+tn=1，又由（1）知，故3+3mtn=0.所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．（2023·江苏常州·高二期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点P到点F的距离是到直线的距离的，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程(2)已知，，点M是曲线C上异于A、B的任意一点，①求证：直线AM，BM的斜率之积为定值：②设直线AM与直线交于点N，求证：.【解析】（1）设，因为动点P到点F的距离是到直线的距离的，故可得，化简得，即，故曲线的方程为.（2）①设，则，即故.②设，且在轴的上方时，若，不妨取，满足曲线的方程，则方程为，则，此时，又，故；若不垂直于，设，，则由，得，又直线的方程为：，联立可得：，故，则，又，则，又，，故即；当点在轴的下方时，根据对称性，显然也满足；综上：得证.考点二定义法求曲线轨迹方程8．（2023·四川·高二期末（文））若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【解析】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A9．（2023·湖南·新邵县教研室高二期末（文））已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为；斜率为的直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，则的值为.【答案】，【分析】根据动圆与圆，的位置关系，分情况讨论可知动圆C的圆心轨迹为椭圆，然后计算即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E的位置关系以及弦长公式，可得结果.【详解】设动圆的半径为由题可知：当动圆C与圆外切，与圆内切时则所以可知动圆圆心轨迹为椭圆所以，故所以动圆C的圆心轨迹E的方程为当动圆C与圆内切，与圆内切时则所以可知动圆圆心轨迹为椭圆所以，故所以动圆C的圆心轨迹E的方程为所以动圆C的圆心轨迹E的方程为，设直线l方程为，由直线l与曲线E仅有三个公共点则直线l与相切于点Q，与相交于点P,R所以则则则，把代入可得故答案为：，；【点睛】本题考查椭圆的定义，以及弦长公式，考验分析问题能力以及计算能力，属中档题.10．（2023·福建福州·高二期末）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A．B．C．D．【解析】圆：，圆心，半径.圆：，圆心，半径.设，半径为，因为动圆与圆，都外切，所以，所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.所以，，解得，即的轨迹方程为：.故选：D11．（2023·天津河北·高二期末）已知圆：，圆：，动圆C与圆和圆均内切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程(2)点（）为轨迹E上的点，过点P作两条直线与轨迹E交于AB两点，直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意得，.设动圆圆心C的坐标为，半径为r，则，.从而.∴动圆圆心C的轨迹E是焦点为，，长轴长等于4的椭圆，且，.又，得，∴动圆圆心C的轨迹E的方程为.(2)由（1）可得.设直线PA的方程为则直线PB的方程为.设，.由消去y，整理得，则，即.（1）同理可得.（2）∴.将（1）（2）代入上式，化简得.故直线AB的斜率为定值.12．（2023·山东聊城·高二期末）已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得：圆，则圆心，半径；设中点为，则为线段的垂直平分线，，，点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，，，点轨迹方程为：；(2)①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线，由得：，设直线与曲线交于，，则，，；，直线，同理可得：，，设直线与轴交于点，则当直线斜率存在时，由得：，，即直线恒过点；当直线斜率不存在时，由得：，则，则直线恒过点；②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过；综上所述：直线恒过点；，在以中点为圆心，为直径的圆上，若，则为定值；存在点，使得为定值.13．（2023·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【解析】如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．14．（2023·山东·日照青山学校高二期末）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.求的方程；【解析】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，，所以，轨迹的方程为.15.（2023·全国·高二专题练习）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的方程；【解析】解法一：设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.解法二：设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.16.（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【分析】设，由于的面积为定值，可得出为定值，设，设线段的中点为M，因为，即可得出线段的中点的轨迹为双曲线.【详解】设，则.由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设.设线段的中点为M，则，，故为定值，从而线段的中点的轨迹为双曲线.故选：C.考点三相关点法求曲线轨迹方程17．（2023·辽宁沈阳·高二期末）已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足．则点M的轨迹方程为______．【解析】设，由，有，得，所以，由得：，所以点的轨迹的方程是.故答案为：18．（2023·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作动直线的平行线交轨迹于两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）

（2）为定值，定值为1【解析】（1）利用平面向量坐标的线性运算化简.结合列方程，化简后求得动点的轨迹方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和，写出判别式和韦达定理，利用弦长公式求得.求得直线的方程，与联立，由此求得.由此计算出为定值.【详解】（1）因为，即，所以，，则，又，所以，即，所以动点的轨迹方程为.（2）易知直线不与轴重合，可设直线的方程为，由，得，，设，则有，，，即，由，可知直线的方程为，由，得，则，故，综上，为定值，且定值为1.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．（2023·云南普洱·高二期末（理））设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足.(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求面积的最大值，并求出此时直线的方程.【解析】(1)解：依题意，由知，点是线段的中点，设，则，，又点在圆上，所以，即，所以点的轨迹的方程为：；(2)解：由题意，设直线的方程为，，，由，得，即，所以，则，所以，所以，而到的距离，所以，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为1，此时直线的方程为或，即或.20.（2023·全国·高二专题练习）曲线关于点对称的曲线方程为．【答案】【分析】设为曲线上的点，其关于点对称的点为，进而得，再代入即可得答案.【详解】解：设为曲线上的点，其关于点对称的点为，所以，，即，由于，所以，，即.故答案为：21.（2023·全国·高二专题练习）已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为．【答案】【分析】先设出，的坐标，，根据重心坐标公式可得出关系式，再利用顶点A在抛物线上运动，代入即可得到轨迹方程。【详解】设，．由点G为的重心，得，所以．又在抛物线上，所以，即．又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为．故答案为：考点四参数法求曲线轨迹方程22．（2023·全国·高二专题练习）如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【解析】设，的斜率分别为．所以由，得由点在上，得直线方程由，得直线方程设点，则满足②、③两式，将②式两边同时乘，并利用③式整理得由③、④两式得由①式知，∴因为是原点以外的两点，所以．所以点M的轨迹方程为，的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，去掉坐标原点．23．（2023·全国·高二专题练习）过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程．【解析】设直线的斜率为，则直线的斜率为．∵直线OA的方程为，联立方程，解得，即，同理可得．由中点坐标公式得，即，消去得∴点的轨迹方程为24.（2023·全国·高二专题练习）已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．【答案】（或）【分析】由题意，设出点的坐标以及直线方程，联立方程，由根的判别式以及韦达定理，表示出中点坐标，消去斜率，可得答案.【详解】设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，由，得：，，解得：或，则，，而，因此点M的坐标为，，消去参数k，得：．由或，得：或．综上，点M的轨迹方程（或）．25.（2023·全国·高二专题练习）已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．【答案】【分析】根据题意将动点的坐标设出，垂直转化为对应的向量数量积为0，再转化平行条件从而得到动点的轨迹方程.【详解】