专题13.3等腰三角形的性质（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题13.3等腰三角形的性质（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•慈溪市校级开学）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（）A．22 B．29 C．37 D．29或37【答案】C【分析】分两种情况讨论：当7是腰时或当15是腰时．根据三角形的三边关系，知7，7，15不能组成三角形，应舍去．【解答】解：当7是腰时，则7+7＜15，不能组成三角形，应舍去；当15是腰时，则三角形的周长是7+15×2＝37．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系．2．（2022秋•婺城区期末）等腰三角形的底角为50°，则它的顶角度数是（）A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°【答案】B【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．3．（2023•余杭区校级模拟）如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（）​A．50° B．40° C．20° D．25°【答案】D【分析】先根据AB＝AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12∠ADB＝故选：D．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．4．（2020秋•永嘉县校级期中）如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（）A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°．【答案】A【分析】根据AB＝AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求出∠BDE的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣30°）＝∵以B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE＝BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝75°，∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，∴∠BED＝∠BDE=12（180°﹣45°）＝故选：A．【点评】本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC＝30°，然后即可求得答案．5．（2022秋•平湖市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将三角形的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处，若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（）A．36° B．38° C．48° D．84°【答案】C【分析】根据在△ABC中，∠BAC＝108°，可得∠B，∠C是锐角，根据折叠的性质可得∠AC′D＝∠C，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠BDC′，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝108°，∴∠B+∠C＝72°，∠B，∠C是锐角，由折叠可知∠AC′D＝∠C，∵△BC′D是等腰三角形，∴∠B＝∠BDC′，∴∠AC′D＝∠B+∠C＝2∠B，∴∠C＝48°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是熟悉相关的性质和定理．6．（2022秋•金东区期末）如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的中线，DE是△ABD高线．图中与∠BAD一定相等的角有（不含本身）（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由三线合一得∠DAC＝∠BAD，再由直角三角形两个锐角互余得∠BAD＝∠BDE．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，AD是底边BC上的中线，∴AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD，∵∠BAD+∠ADE＝∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BAD＝∠BDE，∴∠BAD＝∠BDE＝∠DAC，所以有2个角和它相等，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的三线合一，直角三角形两锐角互余，掌握这些性质是解本题的关键．7．（2023•西湖区校级三模）有一道题目：“在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，分别以B、C为圆心，以BC长为半径的两条弧相交于D点，求∠ABD的度数”．嘉嘉的求解结果是∠ABD＝10°．淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠ABD还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．淇淇说得对，且∠ABD的另一个值是130° B．淇淇说的不对，∠ABD就得10° C．嘉嘉求的结果不对，∠ABD应得20° D．两人都不对，∠ABD应有3个不同值【答案】A【分析】由题意可知嘉嘉考虑不周全，如图，当点D在△ABC外时，∠ABD的另一个值是130°．【解答】解：如图，当点D在△ABC外时，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°．∵BC＝BD＝CD，∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝70°+60°＝130°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键．8．（2023•海曙区校级开学）△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（）A．67.5°或45° B．22.5°或45° C．36°或72° D．67.5°或22.5°【答案】D【分析】根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．【解答】解：①如图所示，CD在△ABC内部，∵AB＝AC，CD为AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣45°）＝∴∠BCD＝∠ACB﹣ACD＝67.5°﹣45°＝22.5°；②如图所示，CD在△ABC外部，∵AB＝AC，CD为AB上的高，∴∠B＝∠ACB，∠CDB＝90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠B＝∠ACB=12×45∴∠BCD＝∠ACB+ACD＝22.5°+45°＝67.5°；所以∠BCD等于22.5°或67.5°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．9．（2020秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE的大小为（）A．α B．34α C．23α 【答案】D【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，则x+z=αx=z+2y，解得y+z=1【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，∠DAC＝z，则x+z=αx=z+2y解得y+z=12∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE=1故选：D．【点评】此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．10．（2023•威海模拟）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…按此作法进行下去，第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为（）A．30°2n+1 B．75°2n-1 C．75°【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的内角的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，∴∠BA1A=180°-∠B2∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=∠BA同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，∴第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为75°2故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016秋•诸暨市期中）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是40°．【答案】见试题解答内容【分析】由条件可知该角只能为顶角，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求得底角．【解答】解：∵该角为100°，∴这个角只能是等腰三角形的顶角，∴该等腰三角形的顶角为100°，∴底角为180°-100°2=故答案为：40．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．12．（2015秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝36度．【答案】见试题解答内容【分析】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．【解答】解：设∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°．故答案为：36．【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．13．（2023•金华开学）在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为108°或90°【答案】108°或【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，利用等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：①如图①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．②如图②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．③如图③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．④如图④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝3∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴7∠A＝180°，∴∠A＝（1807）°，∠C＝（5407）°，∠ABC＝（故答案为：108°或【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．14．（2023•慈溪市校级开学）如图，点O是△ABC内的一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，则∠BOC＝90°．【答案】90°．【分析】根据等腰三角形的判定与性质可知∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，再根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵OA＝OB＝OC，∴△AOB、△BOC、△AOC是等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB，∴2∠OAB+2∠OAC+2∠OBC＝180°，∵∠BAC＝45°，∴∠OAB+∠OAC＝45°，∴2∠OAB+2∠OAC＝90°，∴2∠OBC＝180°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝90°，∴∠BOC＝180°﹣2∠OBC＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝8cm．【答案】见试题解答内容【分析】连接AP，由图形表示出△ABC与△ABP、△APC的关系，根据等腰三角形的性质结合三角形的面积公式可得到PF+PE＝BD，即可得到BD．【解答】解：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB•PE+12AC•PF=∴PF+PE＝BD，∵PE＝5cm，PF＝3cm，∴BD＝8cm，故答案为：8cm．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将PE，PF，BD联系在一起．16．（2023•滨江区校级开学）如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画9条线段．【答案】9．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°．∴n＜10．∵n为整数，∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•金东区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AE＝5，△CBD的周长为17，求△ABC的周长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（2）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C=12×（180﹣40∵MN是AB的垂直平分线∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（2）∵△ABD是等腰三角形∴AD＝BD，∵C△CBD＝BC+CD+BD＝17，∴BC+CD+AD＝BC+AC＝17，∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝10+17＝27．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．18．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．19．（2023春•武功县期末）【问题背景】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC＝2∠C，BD＝CD．​【问题探究】（1）若∠A＝∠DEC，试说明AB＝EC；（2）若AB＝BD，求∠A的度数．【答案】（1）见解答过程；（2）72°．【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角的和差求出∠ABD＝∠C，利用AAS证明△ABD≌△ECD，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，在△ABD和△ECD中，∠A=∠DEC∠ABD=∠C∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC；（2）∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDA，由（1）知，∠ABD＝∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠A＝∠ADB＝2∠ABD，∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠A+∠A+12∠A＝∴∠A＝72°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABD≌△ECD是解题的关键．20．（2022秋•永城市校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC（2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．【解答】解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型．21．（2021秋•东台市期中）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，（1）若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；（2）若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．【解答】解：（1）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD⊥AC于D，∴∠DBC＝90°﹣72°＝18°，∴∠ABD＝72°﹣18°＝54°；（2）∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠A＝36°∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ACE，∴AE＝EC，∵∠ABC＝72°，∴∠BEC＝72°，∴BC＝CE，∴AE＝BC．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．22．（2022秋•和平区校级期末）如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠【答案】见试题解答内容【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；（2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD＝∠C