【数学】江苏省淮安市盱眙县2023-2024学年九年级上学期期中试题（解析版）

江苏省淮安市盱眙县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题一、选择题（每小题3分，共24分．）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.2x+y＝1 B.x2+3xy＝6 C.x+＝4 D.x2＝3x﹣2【答案】D【解析】A、原方程为二元一次方程，不符合题意；B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C、原式为分式方程，不符合题意；D、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D．2.如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴；故选：C.3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（）A.95° B.105° C.115° D.125°【答案】A【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°，∴；故选A．4.如图，是的切线，B为切点，与交于点C，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵是的切线，B为切点，∴，即，∵，∴，∵，∴．故选：B．5.如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图可知，圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为，即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是，故选：C．6.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，．故选：B．7.已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（）A. B.2π C.π D.【答案】C【解析】由翻折的性质可知，，∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，∴．故选：C．8.若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．

故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分．）9.请填写一个常数，使得关于的方程__________有两个相等的实数根．【答案】1【解析】设这个常数为a，∵要使原方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴满足题意的常数可以为1，故答案：1．10.如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留）【答案】【解析】根据题意，重物的高度为（cm）．故答案为：．11.请写出一个两根分别为，3的一个一元二次方程___________．【答案】【解析】由题意得，满足题意的方程可以为，即，故答案为：（答案不唯一）．12.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】连结OA，拱桥半径OC为5cm，cm，m，cm，mm，故答案为：8．13.若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．【答案】6【解析】∵a是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：6．14.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．【答案】10【解析】根据题意可得：∵正五边形的一个外角，∴，∴，∴共需要正五边形的个数（个），故答案为：10．15.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．【答案】4【解析】∵，∴对应的圆心角的度数为，∵，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台，故答案为：416.如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，以为直径作圆交于点P，连接，则的最小值是______．【答案】【解析】如图，取中点G，连接，∵为直径，∴∵点G是中点，∴，在中，，在中，，即当点P在线段上时，最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）17.解方程：（1）；（2）．解：（1），∴，∴，∴，；（2），∴∴，∴，．18.小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：小敏：两边同除以，得，则．小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．你认为他们的解法是否正确？如果不正确，请写出你的解答过程．解：两位同学的解法都不正确正确解答：移项，得，提取公因式，得，去括号，得，则或，解得，．19.如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；（2）这个圆的半径为；（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M（填内、外、上）．解：（1）如图，圆心的坐标为；（2），，，即的半径为；（3），，，，点在内．20.如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．解：连接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为，求的值．解：（1）由一元二次方程的根的判别式，取任意实数时，，即，无论取何值，方程总有两个实数根，故命题得证．（2）把代入方程，得：，解得，故答案为：．22.如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为，，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．解：设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），，.答：新的矩形绿地的长为，宽为.23.如图，已知，．（1）作一个圆，使圆心O在边AC上，且与AB、BC所在的直线相切（不写作法、保留作图痕迹，并说明作图理由）；（2）若，，求所作的半径．解：（1）如图所示，即为所求作的图形（2）在中，由勾股定理，得：．设与AB的切点为D，连接OD则设的半径为r，在中，依勾股定理，得：解得：即的半径为．24.如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径长．解：（1）如图，连接，∵，∴，∵点C是的中点，即，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴的半径为5．25.列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？解：设这种水果每千克降价元，则每千克的利润为：元，销售量为：千克，整理得，或，要尽可能让顾客得到实惠，即售价为（元）答：这种水果的销售价为每千克29元．26.阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=，x3=；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．解：（1），，所以或或，，；故答案为，1；（2），方程的两边平方，得即或，，当时，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；（3）因为四边形是矩形，所以，设，则因为，，两边平方，得，整理，得两边平方并整理，得，即，所以．经检验，是方程的解．答：的长为．27.【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则；【定理证明】（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；【变式探究】（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】（4）如图5