陕西省汉中市2024届高三上学期第三次校际联考数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1陕西省汉中市2024届高三上学期第三次校际联考数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，故z的虚部为故选：2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】命题“，”的否定是：.故选：.3.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故错误；，故错误；或，故错误；，故正确，故选：.4.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴上，，故焦点为，故选：D.5.若，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，函数满足，解答或，即函数的定义域为，排除A、B，又由，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称的偶函数，当时，函数是函数的图像向右平移一个单位得到的，可排除C.故选：D.6.已知等差数列，其前n项和满足，则（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】是等差数列，其前n项为，，，.故选：A.7.等比数列为递减数列，若，，则（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】由为等比数列，得，又，∴为方程的两个根，解得，或，，由为递减数列得，∴，，∴，则，故选：A.8.设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则【答案】D【解析】对于A，在长方体中，平面平面，分别为直线，显然满足，而，此时不成立，A错误；对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，B错误；对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，C错误；对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.故选：D.9.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18 B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定 D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B【解析】对于甲，其得分的极差大于或等于，故A错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C错误；乙的数据由小到大依次为：乙得分的中位数为，故B正确.乙得分的平均数为，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为，另一个可设为，其中，故其平均数为，故D错误.故选：B.10.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的（）A.9 B.7 C.5 D.3【答案】B【解析】按照程序框图运行程序，输入满足，且，所以，继续运行；满足，不满足，所以，继续运行；满足，不满足，所以，继续运行；满足，不满足，，继续运行；满足，且，所以，继续运行；不满足，输出故选：11.在正三棱柱中，，为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】记的中点为，连接，如图，因为为棱的中点，为的中点，所以，所以为异面直线与的所成角（或补角），因为在正三棱柱中，，所以，，，所以在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.12.已知实数x，y满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方程化为：，表示以为圆心，1为半径的圆，设，，即，因此，其中锐角由确定，显然，于是当，即时，取得最小值，所以的最小值是.故选：C第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.已知函数，则____________.【答案】【解析】因为，所以故解得，故答案为：14.在中，，，则____________.【答案】【解析】根据题意易得为等腰直角三角形，,则，故答案为：15.已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】根据题意，取点为第一象限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：因为△为等边三角形，又，故可得则点的坐标为，代入椭圆方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案为：.16.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为____________.【答案】2【解析】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值点”的个数为.故答案为：.三、解答题（一）必考题：17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，，求的面积.解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，则，即，又，所以.（2）由（1）知，，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面积.18.某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（1）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）∵，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.（2）在取出的5件产品中，3件一等品记为a，b，c，2件二等品记为D，E，从这5件产品中任选2件的所有情况为ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，其中2件全是一等品的情况为ab，ac，bc，共3种，∴选出的2件全是一等品的概率为.19.如图，在三棱锥中，是等边三角形，是等腰直角三角形，平面平面，，，点O，E分别为的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.（1）证明：∵是等边三角形，点O为BD中点，∴.又∵，∴.又∵，平面，平面，∴平面.又∵平面，∴.（2）解：由题意知，，因为平面平面，又平面平面，，面，所以平面，又平面，所以，∴.由（1）知平面，又点E为AD中点，∴点E到平面AOC的距离为.∴.故三棱锥的体积.20.已知函数.（1）若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.解：（1）由，得，∵在处的切线与x轴平行，∴，解得.（2）函数的定义域为，.当时，对任意的，都，此时函数在上单调递增，无极值点；当时，令，可得，由，可得，由，可得.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在处取得极小值，无极大值.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点.21.在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点．（1）解：，且抛物线的顶点到焦点的距离为，则该抛物线的焦点坐标为，，解得，因此，该抛物线的方程为；（2）证明：设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，.直线的斜率为，同理直线的斜率为，由题意得，上式对任意的非零实数都成立，则，解得，所以，直线的方程为，该直线过定点.（二）选考题【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于、两点，求的值.解：（1）在直线的参数方程中消去参数，可得直线的普通方程为，在圆的极坐标方程两边同时乘以，可得，由可得圆的直角坐标方程为，即；（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方