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PAGEPAGE1江苏省扬州市邗江区2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.经过点且倾斜角为的直线的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由倾斜角为知,直线的斜率,因此,其直线方程为,即故选:B2.已知点在直线上,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】就是到原点距离,到原点距离的最小值为则的最小值为2,故选:B.3.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是()A. B. C.或 D.且【答案】D【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆,则,解得且.故选:D.4.已知是抛物线:的焦点,点在上且,则的坐标为()A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是抛物线:的焦点,所以,又,由抛物线的定义可知,解得,所以.故选:A5.过直线上的点P作圆的两条切线,,当直线,关于直线对称时,两切点间的距离为()A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】依题意,设两切点分别为、,并连接交于点,作出示意图:当直线,关于直线对称时,则两条直线,与直线的夹角相等,且与直线互相垂直,的长为圆心到直线的距离,即,又圆的半径,在中,,故,结合垂径定理得,即两切点间的距离为,故选:D.6.为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往,某小区在园区中心建立一座景观喷泉.如图所示,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点B离地面4m,点B到管柱OA所在直线的距离为2m,且水流落在地面上以O为圆心,6m为半径的圆内,则管柱OA的高度为()A.2m B.3m C.2.5m D.1.5m【答案】B【解析】如图所示,建立平面直角坐标系,由题意知,水流的轨迹为一开口向下的抛物线,设抛物线的方程为,因为点,所以,解得,所以抛物线方程为,点在抛物线上,所以,解得,所以,所以管柱的高度为.故选:B.7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知的顶点,,,若直线l:与的欧拉线平行,则实数a的值为()A.-2 B.-1 C.-1或3 D.3【答案】B【解析】由的顶点,,知,重心为,即,又三角形为直角三角形,所以外心为斜边中点,即,所以可得的欧拉线方程,即,因为与平行,所以,解得,故选:B8.已知椭圆的左、右焦点分别是,点是椭圆上位于第一象限的一点,且与轴平行,直线与的另一个交点为,若,则的离心率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由令,得,由于与轴平行,且在第一象限,所以.由于,所以,即,将点坐标代入椭圆的方程得,,,所以离心率.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.过定点(2,3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由题意,直线不与坐标轴垂直,设所求的直线方程为,当时,得横截距,当时,得纵截距,因为过点的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等,所以,所以或,所以,或或,所以直线的方程为或或.故选:ABC.10.已知,为两个不相等非零实数,则方程,与所表示的曲线不可能是()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】变形得到,A选项,双曲线交点在轴上,故,此时应该经过第一,二,四象限,A不可能;B选项,椭圆焦点在轴上,故,此时经过第一,二,三象限,B不可能;C选项,双曲线交点在轴上,故,此时应该经过第一,三,四象限,C可能;D选项,椭圆焦点在轴上,故,此时经过第一,二,三象限,D不可能;故选:ABD11.已知经过点的圆C的圆心坐标为(t为整数),且与直线l:相切,直线m:与圆C相交于A、B两点,下列说法正确的是()A.圆C的标准方程为B.若,则实数a的值为C.若,则直线m的方程为或D.弦AB的中点M的轨迹方程为【答案】BC【解析】对于A,设圆C的半径为r,由题意可得圆C的方程为(t为整数),根据点是圆C上的点,且圆C与直线l:相切,得,解得,或(舍去),则圆C的标准方程为,故A错误;对于B,由选项A知圆C的标准方程为,圆心,点在圆C上,且,线段AB为圆C的直径,直线m:与圆C相交于A、B两点,圆心在直线m上,,解得,故B正确;对于C,由选项A知圆C的半径为2,圆心,则圆心C到直线m的距离,,即,解得,,整理得,解得或,则直线m的方程为或,故C正确;对于D,直线m的方程可化为,过定点,由圆的性质可得,点M的轨迹是以线段CN为直径的圆,则此圆圆心为线段CN的中点,其坐标为,半径为,则该圆的方程为,由,得两圆的交点坐标为与,故弦AB的中点M的轨迹方程为,,故D错误;故选:BC.12.已知O为坐标原点,过抛物线焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点,若,则()A.直线的斜率为 B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A,易得,由可得点在的垂直平分线上,则点横坐标为,代入抛物线可得,则,则直线的斜率为,A正确;对于B,由斜率为可得直线的方程为,联立抛物线方程得,设,则,则,代入抛物线得,解得,则,则,B错误;对于C,由抛物线定义知:,C正确;对于D,,则为钝角,又,则为钝角,又,则,D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线的斜率为,倾斜角为且,则的取值范围是_____.【答案】【解析】,且,或,即的取值范围是.故答案为:.14.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则它的离心率为________.【答案】2【解析】由题意,得e====2.15.由曲线围成的图形的面积为______.【答案】【解析】将或代入方程,方程不发生改变,故曲线关于轴,轴对称,因此只需求出第一象限的面积即可,当,时,曲线可化为:,表示的图形为以为圆心,半径为的一个半圆,则第一象限围成的面积为,故曲线围成的图形的面积为.故答案为:.16.动点分别与两定点,连线的斜率的乘积为,设点的轨迹为曲线,已知,,则的取值范围为____________.【答案】【解析】设,,则,,由已知可得,,即,整理可得,.所以,点的轨迹方程为().所以,,,,所以.则为椭圆的左焦点,设右焦点为,根据椭圆的定义有,所以,所以,.①当时,根据三边关系可知有,当且仅当三点共线时,等号成立,即位于图中点时,有最大值为,所以,;②当时,根据三边关系可知有,所以,当且仅当三点共线时,等号成立,即位于图中点时,有最小值为,所以,.综上所述,.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个顶点是,,.求:(1)边上的中线所在直线方程;(2)边上的高所在直线方程.解:(1)由题知的中点,所以直线的斜率,则边上的中线所在直线的方程为,化简得.(2)由题意得直线AC的斜率,且,所以.则边上的高所在直线的方程为,化简得.18.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)求椭圆的标准方程:以点,为焦点,经过点.(2)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且,求抛物线的标准方程.(3)求双曲线的标准方程:经过点,.解:(1)设椭圆的标准方程为,焦距为.由题意有,,,所以,,故椭圆的标准方程为.(2)由抛物线的定义可得,∴,解得,故抛物线的标准方程为.(3)设所求双曲线方程,则,解得,所以双曲线方程为.19.已知抛物线C:焦点为F,过F的直线l与抛物线相交于A,B两点,(1)当时,求直线l的方程;(2)求证:以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.解:(1)解法1:由题意,可得,,当l斜率不存在时,l为,由得,故,与题意不符.当直线l斜率存在时,设,∴,设则,根据抛物线的定义可得,,则,解得.∴直线l的方程为或.解法2:由题意,可得,∵直线l与抛物线相交于A,B,∴l斜率存在时,斜率不为0,故可设,则,设则∴,解得.则直线l的方程为或.(2)几何法:取AB的中点M,则M为以AB为直径的圆的圆心,设,过M作MN⊥准线a于N,过A作⊥准线a于,过B作⊥准线a于,根据梯形的性质和抛物线的定义可得,即得证.代数法:设,弦AB的中点为M,则M为以AB为直径的圆的圆心,其横坐标为,∵直线l与抛物线相交于A,B,∴l斜率存在时,斜率不为0,故可设,则,则,则M到准线的距离为.又,故,即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.20.已知圆,圆(1)若圆、相切,求实数的值;(2)若圆与直线相交于、两点,且,求的值.解:(1)已知圆变形为,圆的圆心为,半径,圆的圆心,半径为,圆心距,当两圆外切时,有,即,解得,当两圆内切时,有,即,解得,故m的取值为或(2)因为圆与直线相交于、N两点,且,而圆心到直线的距离,有,即,解得:或.21.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1,且点在该双曲线上.直线交C于P,Q两点,直线的斜率之和为(1)求该双曲线方程;(2)求的斜率;解:(1)双曲线的渐近线是,即,根据对称性,不妨取右焦点,则焦点到渐近线的距离为:,所以,双曲线C的方程为.将点A代入双曲线方程得,得:,故双曲线方程为.(2)解法一:由题意可知直线l的斜率存在,设,设,,则联立直线与双曲线得:,则,又,所以,.由韦达定理可得,,所以,化简得:,故,整理可得,解得或.若,即时,,即过A点,显然直线l不过A点,故l的斜率解法二:设直线PA方程:,将代入双曲线,化简得:,且有,.由韦达定理可得,所以有,,.以,可得.所以,.22.已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点的直线与椭圆相交于两点,为原点,求面积的最大值.解:(1)由题意得,解得,故,故椭圆方程为;(2)法1,由题意,当直线AB的斜率
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