江苏省苏州市2023-2024学年高一上学期11月期中摸底数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省苏州市2023-2024学年高一上学期11月期中摸底数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，，所以，.故选：A.2.函数定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的定义域满足，解得.故选：D.3.“函数在上为减函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若函数在上为减函数，则，解得，又因为，因此，“函数在上为减函数”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.5.设函数，若，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】由题意，因，所以.故选：C.6.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（）(参考数据：)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.7.函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在上单调递增，且，所以有，解得，所以m的取值范围是.故选：A.8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（）（注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.）A.的值域为 B.C. D.以上选项都不对【答案】B【解析】设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，故选项A错误；对B、C选项：①当，，则，；②当，，则，＝0；③当或，则，，所以选项B正确，选项C、D错误.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由图可得图中阴影部分表示为，又，，，故符合题意的有A、B、C.故选：ABC.10.下列命题中假命题有（）A.，B.“且”是“”的充要条件C.，D.函数的值域为【答案】BC【解析】A：由，则，故，真命题；B：显然满足，但此时且不成立，假命题；C：对于，开口向上且，则恒成立，假命题；D：且开口向下，易知其值域为，真命题.故选：BC.11.若，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由条件：，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确.故选：ACD.12.下列说法正确的是（）A.若为正数，且满足，则的最小值为B.已知实数，则表达式的最小值为C.已知实数且，满足，则的最小值为D.若两个不相等的正数满足，则的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，若为正数，，得，解得，所以当时，的最小值为，故A正确；对于B，已知实数，，当时，即时，的最小值为，故B正确；对于C，已知且，则，，，，所以当时，即，时，取最小值1，但已知，故C错误；对于D，已知两个不相等的正数，因为，所以，所以，解得，，所以，，当时，，所以当时，有最小值，所以的最小值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“”的否定是______.【答案】【解析】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，所以原命题的否定是“”.故答案为：.14.已知幂函数的图象经过点，则该函数的单调区间为___________.【答案】，【解析】设幂函数的解析式为，因为幂函数的图象经过点，所以有，因此该函数的单调区间为，.故答案为：，.15.已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由题知：区间上单调递减，在上单调递增，且，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，综上的解集为.故答案为：.16.已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________.【答案】[0，2]【解析】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]单调递增即可，当x＝1时，F（x）＝0，图象恒过（1，0）点，当x＞1时，F（x）＝x2﹣ax+a，当x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]递增，则当1＜x≤2时，F（x）＝x2﹣ax+a的对称轴x＝，即a≤2，当0≤x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a的对称轴x＝，即a≥0，故a∈[0，2].故答案为：[0，2].四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）.（2），，，，.18.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.解：（1）由，都有不等式成立，得在时恒成立，所以，因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，当时，，，所以，.（2）由可得.①当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，此时，；②当时，可得或，因为是的充分条件，则，则，解得，此时；综上所述，实数的取值范围是.19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；（3）若，求实数的取值范围.解：（1）由题意可知，即，，又，即（2），且，有，由于，即，所以函数在区间上单调递增.（3）因为为奇函数，所以由，得，又因为函数在区间上单调递增，所以解得，故，所以实数的取值范围是.20.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数及利润函数最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值.解：（1）由题意知，，，易得的对称轴为，所以当或时，取得最大值为（元），所以利润函数，最大值为（元）.（2）依题意，得（元），当且仅当时等号成立，即时，等号成立，所以当台时，每台产品的利润取得最大值元.21.已知函数.（1）求函数的解析式；（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围.解：（1）解法一：∵，∴.又，∴.解法二：令，则.由于，所以，代入原式有，所以.（2）∵，∴，∵存在使成立，∴在时有解，令，由，得，设，则函数的图象的对称轴方程为，∴当时，函数取得最小值，∴，即的取值范围为.22.对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“黄金区间”.（1）请证明：函数不存在“黄金区间”.（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”.（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值.解：（1）证明：由为上的增函数，则有，∴，无解，∴不存在“黄金区间”.（2）记是函数的