河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期12月考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期12月考试数学试题一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分．1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，则；由得：，即，解得：或，则或，.故选：D.2.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数为减函数，所以，又因为，所以.故选：A.3.已知函数为R上的奇函数，当时，，则（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由题可知＝－3.故选：A.4.已知，则（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】因为，，即，所以．故选：C.5.下列函数中，在其定义域上既是减函数又是奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，的定义域为，因为，所以函数在定义域内奇函数，而函数的单减区间是和，所以在定义域内不是减函数，故A错误；对于B，的定义域为R，因为，所以函数不是奇函数，故B错误；对于C：的定义域为R，因为，所以函数不是奇函数，故C错误；对于D，的定义域为，因为，所以函数在定义域内奇函数，且在定义域内是减函数，故D正确.故选：D.6.已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为.故选：A．7.若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以的对称轴为；又对任意，且有，则在上为单调递减函数.因为，，，所以，即.故选：A.8.对于，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B.C. D.(1,2)【答案】A【解析】由题设知，化简整理得：，画出函数的图像，如下图：由，当关于方程恰有三个互不相等的实数根时，t的取值范围是，设，则是的两个根，关于对称，故，下面求的范围：，解得：，，，，故，所以.故选：A.二、多选题．本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，，且，则下列不等式恒成立的（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为，，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，，A对；，当且仅当时，等号成立，B对；，当且仅当时，等号成立，C错；因为，则，故，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.10.对于任意实数，，，，下列四个命题中为假命题的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】AD【解析】对于A，当时，满足条件，，但是，所以A为假命题；对于B，因为，所以，所以，所以成立，所以B为真命题；对于C，因为，所以且，所以，所以C为真命题；对于D，当，，，时，满足条件，，但是，所以D为假命题．故选：AD．11.若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，故，又，故要定义域上的值域为，满足题意的选项是：BC.故选：BC.12.已知函数，则下列说法正确的有（）A.函数为偶函数B.当时，C.函数的值域为D.若，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，，由，可得函数为偶函数，故A选项正确；对于B，由，可得，故B选项正确；对于C，由，又由，有，有，可得函数的值域为，故C选项错误；对于D，当时，由，可得函数在上单调递增，又由函数为偶函数，可得函数的减区间为，增区间为，若，有，不等式两边平方后可解得或，故D选项正确.故选：ABD.三、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：______.【答案】5【解析】.故答案为：.14.若满足，则__________．【答案】【解析】取得到；取得到，解得.故答案为：.15.已知，，若，，使得，则实数的最大值是______.【答案】【解析】，，使得，；在上单调递减，；在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，；，解得：，则实数的最大值为.故答案为：.16.若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是____________【答案】【解析】由题意可得函数，再根据其图象过点，可得，即，，函数在区间上是增函数，且，函数在区间上是减函数，故在区间上是增函数，再根据在区间上大于零，且在，是增函数，可得，解得.故答案为：，．四、解答题．本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的值．解：（1）由得，得，所以，当时，由，得，所以，所以或，所以.（2）因为，所以，所以，即，由得，得，所以，因为，所以，，解得.18.已知命题：，，命题为真命题，实数的取值集合为.（1）求集合；（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）命题为真命题，则，得或，所以或.（2）因为是的充分不必要条件，所以，①当时，则，即，满足，②当时，则，即，因为，所以或，解得，综上可得.19.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若对于恒成立，求的取值范围.解：（1）由对数函数单调性可知，当时，，令，即可得，由二次函数性质可知当时，，当时，，因此可得当时，该函数的值域为.（2）当时，可得，原不等式可化为对于恒成立，即可得对于恒成立，易知函数在上单调递增，所以，因此只需即可，得；即的取值范围是.20.第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解：（1）设定价为元，则销售量为万件，由已知可得，，整理可得，，解得，所以，该商品每件定价最多为50元.（2）由已知可得，，，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，，所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元.21.若定义在上的函数对任意的、，都有成立，且当时，.（1）求证：为奇函数；（2）求证：是上的增函数；（3）若，解不等式．解：（1）证明：定义在上的函数对任意的、，都有成立，构造函数，则，即，令，得，所以，，由于函数的定义域为，关于原点对称，令，，则，，因此，函数为奇函数.（2）任取，则，，另一方面，即，因此，函数在上为增函数，即函数在上为增函数.（3），则，，由，得，即，，又，，所以，，由于函数在上单调递增，所以，，即，解得，因此，不等式的解集为.22.已知函数，.（1）利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数；（2）已知，其中是大于1的实数，当时，，求实数的取值范围；（3）当，判断与的大小，并注明你的结论.解：（1），，因