河南省部分学校2023-2024学年高一上学期期中大联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河南省部分学校2023-2024学年高一上学期期中大联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则实数（）A.0 B.1 C.1或2 D.2【答案】D【解析】由题可知，解得.故选：D.2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可知且，解得.故选：A.3.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知命题“，使得”为真命题，则，使得，故，.故选：B.4.“”是“函数（且）的图象经过第三象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，再结合指数函数的图象特征可知的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；若的图象经过第三象限，易知时不成立，所以，且，解得，所以必要性成立.故选：C.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，，为减函数，当时，，当且仅当时，取得最小值2,故B选项的图象符合题意.故选：B.6.已知函数在区间上单调递减，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以,因为在区间上单调递减，所以，即.故选：A.7.已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（）A.2或 B. C.3 D.3或【答案】D【解析】由题可知，则，，所以，因为在区间上单调递增，所以，解得或.故选：D.8.已知函数是三次函数且幂函数，，则（）A.4047 B.8092 C.8094 D.9086【答案】C【解析】因为是三次函数且是幂函数，所以，所以.令，则是奇函数，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由可知，与已知矛盾，所以A错误；由题可知，则，所以B正确；等价于，与矛盾，所以C错误；等价于，因为，所以，又，所以，所以D正确.故选：BD.10.已知函数是指数函数，函数则（）A.是增函数 B.是增函数C. D.满足不等式的最小整数是1【答案】ACD【解析】由题可知，解得，则是增函数，所以A正确；当时，，，，所以不是增函数，所以B错误；，，所以C正确；由题易知只需考虑的情况，将代入可得不等式成立，所以最小整数是1.故选：ACD.11.已知函数的定义域为，且，，则（）A. B.C.为奇函数 D.为增函数【答案】BC【解析】令，得，即，不满足，所以错误；令，，得，即，令，，得，得8，所以B正确；令，得，故为奇函数，所以C正确；由，，可知D错误.故选：BC.12.已知函数且，则下列说法正确的有（）A.在区间和上单调递减B.直线与的图象总有3个不同的公共点C.D.【答案】ACD【解析】画出函数的大致图象，如图所示：由图可知在区间和上单调递减，所以A正确；由图可知，当时，直线与的图象有3个不同的公共点，当时，直线与的图象有2个不同的公共点，所以B错误；令，可得直线与的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，，，，由图可知，，即，所以，因为，所以，所以C，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数（且）的图象过的定点坐标为________.【答案】【解析】当时，，故的图像恒过点.故答案为：.14.已知幂函数满足，则________.【答案】【解析】设，则，所以.故答案为：.15.科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数与其游动速度（单位：）的关系式为（且为常数）.当这种鲑鱼的游动速度为时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于，则其耗氧量至少为________个单位.【答案】2700【解析】由题可知，解得，当时，.故答案为：2700.16.已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值为________.【答案】9【解析】由题可知，是关于的一元二次方程的实数根，且，则所以，且，，所以，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：9.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知，，求的值；（2）化简：.解：（1）.（2）.18.已知函数.（1）用函数单调性的定义证明是增函数；（2）求不等式的解集.解：（1）设且，则，所以是增函数.（2）由（1）可知是增函数，，所以不等式，即，变形得，即，解得，即不等式的解集为.19.已知关于的不等式.（1）当时，求该不等式的解集；（2）在（1）的条件下，若集合，且，求的取值范围.解：（1）将不等式变形，可得，因为，所以，所以不等式的解集.（2）由题可知，所以结合，得，故的取值范围为（满足条件的不存在）.20.2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.（1）求的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.解：（1）由题可知解得所以.（2）由题可得每件该产品的销售利润为所以第天的日销售利润即，当时，，当且仅当，即时等号成立，当时，为减函数，所以，故当时，取得最小值714，即开幕式后的第30天的日销售利润最小.21.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.（1）求，的解析式；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，分别是偶函数和奇函数，①，所以，即②，①－②可得，即，①＋②可得，即，所以，.（2）由（1）可知，图象开口向上，对称轴为，在区间上的值域为，由题可知，在区间上的最小值大于等于在区间上的最小值，在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，所以得，当时，在区间上单调递减，所以，，所以得，所以实数的取值范围是.22.已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且.（1）求的值；（2）若函数，证明：；（3）若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围.解：（1）