河北省邢台市名校联盟2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省邢台市名校联盟2024届高三上学期期中数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：2.已知复数满足，则（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】设，则，，所以，故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：4.已知数列满足，，则（）A.2 B. C.-1 D.2023【答案】A【解析】由题意得，，，，……，故数列的奇数项构成一个周期为3的周期数列，故.故选：A5.如图，在直角梯形中，，，，，点在边上，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，，则，解得，即.故选：C.6.现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（）A.160种 B.220种 C.256种 D.472种【答案】A【解析】若取出的球中有1个红球，不同的取法有种；若取出的球中有2个红球，不同的取法有种.故不同取法有种.故选：A.7.笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】记与轴非负半轴所成的角为，心形曲线关于轴对称，不妨取．设点，则，代入曲线方程可得，则，因为，所以，所以，所以，所以，即所以．故选：A8.某公司计划在10年内每年某产品的销售额（单位：万元）等于上一年的倍再减去2．已知第一年（2022年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2022年到2031年该产品的销售总额约为（参考数据：）（）A.2135.5万元 B.2235.5万元 C.2335.5万元 D.2435.5万元【答案】D【解析】设该公司在2022年，2023年，…，2031年的销售额（单位：万元）分别为．依题意可得，则，所以数列是首项为90，公比为的等比数列，则，即，则，故从2022年到2031年该产品的销售总额约为2435.5万元．故选：D.二、选择题9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称D.在区间上单调递增【答案】ACD【解析】的最小正周期，A正确；令，解得，所以对称轴为，故B错；令，解得，所以的对称中心为，故C正确；令，解得，所以单调递增区间为，当时满足题意，故D正确.故选：ACD.10.某商店的某款商品近5个月的月销售量（单位：千瓶）如下表：第个月12345月销售量2.53.244.85.5若变量和之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（）A.点一定在经验回归直线上B.C.相关系数D.预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶【答案】AB【解析】对于A，，所以样本点中心一定在经验回归直线上，所以A正确，对于B，因为样本点中心一定在经验回归直线上，所以，解得，所以B正确，对于C，因为，所以变量与成正相关，所以相关系数，所以C错误，对于D，当时，，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，所以D错误，故选：AB11.已知，则（）A. B.C. D.当时，的最小值为4【答案】ACD【解析】由题可知，则，A正确；由，得，所以，B错误；，C正确；当时，，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，D正确．故选：ACD12.在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，表示把中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如，则.定义，，若，则（）A.中有个1B.中有个0C.中0的总个数比1的总个数多D.中1的总个数为【答案】AC【解析】因为，所以，，，，，显然，，，中共有2,4,8项，其中1和0的项数相同，，，中共有3,6,12项，其中为1，为0，设中总共有项，其中有项1，项0，则，，，所以中有个1，A正确；中有个0，B错；，则，，，，中的总数比1的总数多，C正确；，，，，中1的总数为，D错.故选：AC.三、填空题13.已知向量与的夹角为，则__________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：3.14.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为在区间上单调递增，所以当时，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案为：.15.已知某等差数列的前7项和与前8项和的乘积等于，则该等差数列的公差的取值范围是______.【答案】【解析】设该等差数列为，公差为d，的前项和为，则，所以，即，整理得，则，解得.故答案为：16.已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可.令函数，即与的图象有3个不同交点.当时，此时，如图，与的图象有2个不同交点，不满足题意；当时，如图，要使与的图象有3个不同交点，则直线与直线在第二象限有1个交点，所以.当时，如图，当与相切时，联立方程得，令，得，解得（负值舍去）.所以当时，与的图象有3个不同交点.综上，的取值范围为.故答案为：.四、解答题17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由图可得，的最小正周期．因为，且，所以．因为的图象关于直线对称，所以，解得．因为，所以．故．（2）由，得．当，即时，取得最大值，最大值为2；当，即时，取得最小值，最小值为．故在上的值域为．18.函数在上的零点从小到大排列后构成数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和.解：（1）函数的最小正周期为.函数在上的零点分别为.数列是以为首项，为公差的等差数列，即当为奇数时，.数列是以为首项，为公差的等差数列，即当为偶数时，.综上，（2），显然数列为等差数列.所以其前项和为.19.已知是斜边上一点，.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）如图所示：因为，所以.因为，所以.又因为，所以，即..（2）如图所示：因为，设，则.在中，，即，解得.故.20.甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.（1）求前4个回合甲发球两次的概率；（2）求第4个回合甲发球的概率；（3）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.解：（1）前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.故前4个回合甲发球两次概率为.（2）第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.第3回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.第4个回合甲发球的概率为.（3）可以取1，2，3，4.当时，；当时，；由（1）得，当时，；当时，.的分布列为1234.21.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）数列满足，，设数列的前项和为，证明：.（1）解：当时，，解得.当时，，相减得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，验证时成立，故；（2）证明：，，故.，两式相减可得：，所以，.令，，，故，且，，，是从第二项开始单调递减数列，.故.22.（1）证明：函数在上单调递减.（2）已知函数，若是的极小值点，求实数的取值范围.（1）证明：由题意证明如下，在中，.令函数.当时，，所以在上单调递增.因为，所以当时，恒成立，故在上单调递减.（2）解：由题意及（1）得，在中，，.令函数.当，即或时，存在，使得当时，，即在上