新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题15概率与分布列 15.3二项分布与超几何分布（解析版）

专题十五《概率与分布列》讲义15.3二项分布与超几何分布题型一.二项分布1．随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活．网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为0.42．【解答】解：在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为C21•0.7•（1故答案为：0.42．2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为C3故选：A．3．设A，B两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛A队获胜的概率均为13，且各局比赛相互独立，则比赛结束时A队得分比B队高3分的概率为227【解答】解：比赛结束时A队得分比B队高3分是指前3局比赛中A两胜一负，第4局比赛A胜，∴比赛结束时A队得分比B队高3分的概率：P=C故答案为：2274．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝1.96．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p＝0.02，n＝100，则DX＝npq＝np（1﹣p）＝100×0.02×0.98＝1.96．故答案为：1.96．5．已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝13【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，可得np＝30，npq＝20，q=23，则p故答案为：136．乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35．假设共有两次来球且落在（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为12回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为15故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=56×（1−45（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ＝0）＝（1−56）×（1−4P（ξ＝1）=13×（1−45P（ξ＝2）=1P（ξ＝3）=12×（1−45P（ξ＝4）=1P（ξ＝6）=1故ξ的分布列为：ξ012346P1112111故ξ的数学期望为E（ξ）＝0×130+1×16+2×17．人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40，45），第2组[45，50），第3组[50，55），第4组[55，60），第5组[60，65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1：3，第3组的频数为90．（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；（Ⅱ）用这些样本数据估计全市高二学生（学生数众多）的体重．若从全市高二学生中任选5人，设X表示这5人中体重不低于55公斤的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第2组、第3组的频率分别为p2，p3，则p3＝0.025×3×5＝0.375，所以n=90由p2+0.375+（0.025+0.013+0.037）×5＝1，解得p2＝0.25，所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：体重不低于55公斤的学生的概率为p=(0.013+0.037)×5=1X服从二项分布X～B(5，14)，p(X=k)=P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=CP（X＝4）=CP（X＝5）=C所以随机变量X的分布列为：X012345P24310244051024270102490102415102411024则EX=5×18．有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得﹣150分）．设每次击鼓出现音乐的概率为12（Ⅰ）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？（Ⅱ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（Ⅲ）许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．【解答】解：（Ⅰ）每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为12∴玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是：p＝1−C（Ⅱ）设每盘游戏获得的分数为X，则X可能取值为﹣150，10，20，50，P（X＝﹣150）=CP（X＝10）=CP（X＝20）=CP（X＝50）=C∴X的分布列为：X﹣150102050P18383818（Ⅲ）∵X的分布列为：X﹣150102050P18383818∴E（X）=−150×1∴每盘游戏得分的平均数是−5∴由概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．9．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）=C∴f'(p)=C令f′（p）＝0，得p＝0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）＝490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．题型二.超几何分布1．100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）A．0.42 B．0.3 C．0.7 D．0.21【解答】解：由题意，设恰有一次取出次品为事件A，则P（A）=2故选：A．2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P（X＝4）＝140429【解答】解：由题意P（X＝4）=故答案为：1403．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为13【解答】解：从10件产品任取3件的取法共有C103，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为C4因此所求的概率P=C故答案为134．已知超几何分布满足X～H（3，5，8），则P（X＝2）＝1528【解答】解：∵超几何分布满足X～H（3，5，8），∴P（X＝2）=C故答案为：15285．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，P(X=k)=C4k所以随机变量的分布列为：X0123P13512184随机变量X的数学期望E（X）=0×1（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）=6所以事件A发生的概率：676．某学校400名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全部都在12秒到17秒之间，现抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请估计该校400名学生中，成绩属于第三组的人数；（2）请估计样本数据的中位数（精确到0.01）；（3）若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第五组则只有一名男生，其他都是女生，现从第一、第五组中各抽取2名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为0.38，故可估计该校400名学生成绩属于第三组的共有400×0.38＝152（人）．（2）由频率分布直方图易判断，样本数据的中位数落在第三组；设样本中位数为x，根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等可得0.06+0.16+（x﹣14）×0.38＝0.5，解得x=280（3）第一组的人数为50×0.06＝3，其中男生2人，女生1人，第五组的人数为50×0.08＝4，其中1名男生，3名女生，故X的可能取值为1，2，3，P(X=1)=C11⋅C21X123P131216所以E(X)=1×17．2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求．某城市实行网格化管理，该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（单位：斤，2斤＝1千克），体重不超过9.8千克的为合格．（1）从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿，求网格1至少有一个婴儿体重合格且网格2至少有一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好，求网格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；（3）若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X表示网格2内婴儿的个数，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4，网格2内体重合格的婴儿数为2，则所求概率P=(1−C（2）设事件A表示“2个合格，2个不合格”；事件B表示“3个合格，1个不合格”；事件C表示“4个全合格”；事件D表示“抽检通过”；事件E表示“抽检良好”．∴P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=C42则所求概率P=P(D)（3）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，∴P(X=0)=C82C12∴X的分布列为X012E(X)=0×14课后作业.二项分布与超几何分布1．福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为34，45，（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，求X概率分布列及期望；【解答】解：（1）由题意可知，制作一件优秀作品的概率为34∴该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率P=C（2）该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意可知，X～B(4，2P（X＝0）=C40(35)P（X＝2）=C42(25)P（X＝4）=C故X的分布列为：X01234P812162169616625E（X）＝4×22．翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为23，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P0（0＜P0（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为79，求P0（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？【解答】解：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为23，收藏者李先生赌中的概率为P0，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”因为P(X=50)=23P0，所以（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为X1，都选择规则乙赌中的次数为X2，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为E（20X1），选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为E（30X1）．由已知可得，X1～B（2，23），X2～B（2，P0），所以E(X1)=43，E（从而E(20X1)=20E(X1)=20×43=803，E（30若E（20X1）＞E（30X1），则803＞60P若E（20X1）＜E（30X1），则803＜60P若E（20X1）＝E（30X1），则803=60P综上所述，当0＜P0＜493．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为13红灯12345等待时间（秒）6060903090（1）设学校规定7：20后（含7：20）到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；（2）设X表示该学生上学途中遇到的红灯数，求P（X≥2）的值；（3）设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量Y的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到，∴这名学生迟到的概率：p=(1（2）由题意知X～B（5，13∴P（X≥2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）＝1−C（3）由题意知Y＝0，1，2，3，4，5，P（Y＝0）=13，P（Y＝1）P（Y＝2）=(23)2⋅13=427P（Y＝4）=(23)4