几种常见数列的求和方法及相应练习

数列——数列求和【考题回放】1.（北京卷）设，则等于（） A. B.C. D.2.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A．9B．10C．11D．123.（福建）数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．4.（全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若EQ\f(S\S\do(3),S\S\do(6))＝EQ\f(1,3)，则EQ\f(S\S\do(6),S\S\do(12))＝（）A.EQ\f(3,10)B.EQ\f(1,3)C.EQ\f(1,8)D.EQ\f(1,9)5.（天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（）A．55B．70C．85D．1006.（江苏卷）对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是数列求和常用方法一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.①等差数列求和公式：②等比数列求和公式：（切记：公比含字母时一定要讨论）例1:（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的通项公式．（2）令求数列的前项和．例2：已知，求的前n项和.针对训练1：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令则两式相减并整理即得例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；例3：（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．针对训练2：设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．求和：3.求数列前n项的和.三、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例1：求数列的前n项和.例2：（06湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；针对训练3：1.在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.2：求证：四、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例1：数列{an}的前n项和，数列{bn}满.（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。例2：求数列，的前项和．针对训练4：求和：五、并项求和法：针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n项和时，可将这些项放在一起先求和.例1、已知数列的前n项和，求.例2：在各项均为正数的等比数列中，若的值.例3：求数列的前n项和：，…针对训练5：1：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.2：求（）倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例1：已知函数证明：；（2）求的值.例2：（07豫理22.）设