7.1 角与弧度 原卷版

7.1角与弧度【考点梳理】考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二：角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三：象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四：终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【题型归纳】题型一：任意角和终边相同的角1．（2021上·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校）下列命题中正确的是（）A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等2．（2022下·辽宁朝阳·高一凌源市实验中学校联考阶段练习）下列与角的终边一定相同的角是（

）A． B．C． D．3．（2021·高一课时练习）已知角与角的终边相同，分别求满足下列条件的角的度数．(1)，； (2)，；(3)，； (4)，．题型二：象限角4．（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若，则为第一或第二象限角C．钝角一定是第二象限角D．三角形的内角是第一或第二象限角5．（2022下·北京房山·高一北京市房山区房山中学校考阶段练习）给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（

）个.A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·江苏·高一专题练习）若，，则角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题型三：确定n倍角所在象限7．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三8．（2020上·四川凉山·高一统考期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（

）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴9．（2021·高一课时练习）设是第一象限角，试探究：（1）一定不是第几象限角？（2）是第几象限角？题型四：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）10．（2021下·高一课时练习）下列说法中，错误的是（

）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关11．（2023下·高一）下列说法中，正确的是（

）A．1弧度角的大小与圆的半径无关B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．用弧度来表示的角都是正角12．（2021下·高一课时练习）关于弧度制有下列说法：①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大．②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角．③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角．其中正确的说法有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型五：角度与弧度的互化13．（2023上·广东深圳·高一统考期末）在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．14．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（

）A． B． C． D．15．（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)题型六：、与扇形的弧长、面积有关的计算16．（2023上·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知扇形的周长为8cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A． B．1 C．2 D．317．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）扇面书画在中国传统绘画中由来已久，最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇扇面画开始逐渐地成为主流，如图，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为28，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（

）（参考数据：）A．990 B．495 C．380 D．30018．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（

）（参考数据：）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【双基达标】一、单选题19．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．20．（2023上·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（

）A． B． C． D．21．（2023上·上海松江·高一校考期末）下列命题中，正确的是（

）A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角C．若两个角的终边重合，则这两个角相等D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关22．（2023上·浙江·高二校联考开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（

）A．1 B． C． D．23．（2023下·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（

）A． B． C． D．24．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．25．（2023上·高一课时练习）与角终边相同的角可表示为（

）A． B．C． D．26．（2023·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．27．（2023·全国·高一课堂例题）如图，设扇形的圆心角，半径为，弧长为，扇形面积记为．(1)用与表示扇形的面积；(2)用与表示扇形的面积．【高分突破】一、单选题28．（2023下·江西吉安·高一统考期末）已知角的集合，则在内的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个29．（2023下·湖南长沙·高一统考期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角的大小为（

）A． B． C． D．30．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）31．（2023下·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

32．（2023下·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，有个交点（不含点）时，则螺线长度为（

）A． B． C． D．二、多选题33．（2023上·高一课时练习）下列各说法，正确的是（）A．半圆所对的圆心角是πradB．圆周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度34．（2023·全国·高一课堂例题）下列说法中正确的是（

）A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关35．（2023下·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）下列结论正确的是（

）A．是第二象限角B．第三象限角的集合为C．终边在轴上的角的集合为D．若角为锐角，则角为钝角36．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则（

）A．该扇形的弧长为 B．该扇形的弧长为C．该扇形的面积为 D．该扇形的面积为37．（2022下·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上三、填空题38．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.39．（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．40．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为．41．（2023下·江西抚州·高一统考期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是．42．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为