北师大版2021-2022学年九年级数学上学期期中测试卷（三）含答案与解析

北师大版2021-2022学年上学期期中测试卷（三）

九年级数学

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：北师大版九年级上册第1-5章。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求。

L（本题3分）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y=lB.%2+5=0C.x2H•—=1D.x（x+3）=x2-1

x

2.（本题3分）若两个相似三角形的周长比为1:3,则它们的面积比为（）

A.1:9B.1:6C.1:3D.6:1

3.（本题3分）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷〃次，正向朝上有机次（正面朝上的频率是尸=生），则下列

n

说法正确的是（）

A.P（正面朝上）一定等于g

B.P（正面朝上）一定不等于;

c.多投一次，p（正面朝上）更接近;

D.投掷次数逐渐增加，P（正面朝上）稳定在g附近

4.（本题3分）定义运算：nr^n=mn2-mn-i.^]^n：4☆2=4x22-4x2-l=7.则方程=0的根的情况

为（）

A.有两个不相等的实数根B,有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

5.（本题3分）用配方法解关于x的一元二次方程/_2》-3=0,配方后的方程可以是（）

A.（1）2=4B.（%+1）2=4

C.（x-1）2=3D.（x-1）2=16

6.（本题3分汝口图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（）

7.（本题3分）如图，在一条长90米，宽60米的矩形草地上修三条小路，小路都等宽，除小路外，草地面积

为5192米2的6个矩形小块，则小路的宽度应为（）

A.1米或104米B.1米C.2米D.1.5米

An

8.（本题3分）在矩形ABCD中，AD=3AB,点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH,且BG〃DH.当琮

AD

=（）时，四边形BHDG为菱形

9.（本题3分）如图,等边AA6C沿射线向右平移到\DCE的位置,连接AD,则下列结论:①仞=8C；

②BZXAC互相平分；③四边形ACE。是菱形；④BD=BE.其中正确的个数是（）

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（本题3分）如图，在单位为1的方格纸上，△A44，△444，AAAA”…，是斜边在x轴上，斜边

长分别为2,4,6,的等腰直角三角形，若△A44的顶点坐标分别为A（2,。），4（1,1）,A（o，°），则

第II卷

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.（本题3分）如图，AB〃CD〃EF,如果AC=2,AE=5,DF=3.6,那么BD=

12.（本题3分）。，b,c,d,e,7满足关系：£=；=:=鬻，则代数式《一12d+21"0）

haf2021b-\2，a尸+;2土\f

的值是.

13.（本题3分）已知（丁+/）（/+/-2）=3,则/+/=.

14.（本题3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE,连接AF.若

ZEAF=75°,那么NBCF的度数为.

15.（本题3分）如图，在中，ZACB=90。，AB=5,AC=4,E,尸分别为A8、8c上的点，沿

直线所将DB折叠，使点8恰好落在AC上的。处，当AADE恰好为直角三角形时，BE的长为

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后

答案的不能得分。

16.（本题8分）用适当的方法解下列方程。

（1）（61）2-25=0

(2)2f-4x-30=0

17.（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，AA3C的顶点都在格

点上.

（1）以原点。为位似中心，在第三象限内画出将AABC放大为原来的2倍后的位似图形MAG；

（2）已知A4BC的面积为4,则的面积是.

18.（本题9分）某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分市民开展了“你最喜爱的电视节目''的问

卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），根据要求回答下列

问题:

你最喜爱的电视节目你最喜爱的电视节目

剧形统计图

图①图②

（1）本次问卷调查共调查了名观众；图②中最喜爱“新闻节目'’的人数占调查总人数的百分比为

（2）补全图①中的条形统计图；

（3）现有最喜爱“新闻节目”（记为4）,“体育节目”（记为8）,“综艺节目”（记为C）,“科普节目”（记为

D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰

好抽到最喜爱“8”和“C”两位观众的概率.

19.（本题9分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；

第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单

价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤

一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x元.

（I）填表：（不需化简）

时间第一个月第二个月清仓时

用价阮》8040

铺售鬣（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元?

20.体题9分）已知关于x的一元二次方程/+（2机+l）x+，〃-2=0.

（1）求证：无论小取何值，此方程总有两个不相等的实数根;

（2）若方程有两个实数根为，x2,且4+£+3%占=1,求优的值.

21.（本题10分）已知：如图，在中，AE平分/BAO,交BC于点E,即平分/A8C,交AO于点F,

过点尸作FGJ_BF交8c的延长线于点G.

BE

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）如果AB=2,/84。=60。，求尸G的长.

22.（本题10分）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，AE、BD分别与

CD、CE交于点M、N.

D

A

现有如下结论：①AM=DN；②EM=BN；®ZCAM=ZCDN；©ZCME=ZCNB.

(1)上述结论正确的有

(2)选出一个你认为正确的结论，并证明这个结论.

你选的结论是:

证明:

23.(本题11分)(基础巩固)

(1)如图1,在△ABC中，D为AB上一点，NACD=NB.求证：AC2=AD«AB.

A

B

图1

(尝试应用)

(2)如图2,在QABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，ZBFE-ZA.若BF=4,BE=3,

求AD的长.

图2

(拓展提高)

(3)如图3,在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是4ABC内一点，EF〃AC,AC=2EF,ZEDF=gZBAD,

AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.

九年级数学.全解全析

12345678910

BADAAABACB

1.B【解析】解：A、方程x+2y=l是二元一次方程，故本选项错误;

B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；

C、方程x2+2=8是分式方程，故本选项错误：

X

D、方程x(x+3)=x2是一元一次方程，故本选项错误.

故选B.

2.A【解析】•••两个相似三角形的周长比为1:3,...两个相似三角形的相似比为1:3,...它们的面积比为1:9,

故选A.

3.D【解析】:•硬币只有正反两面，

•••投掷时正面朝上的概率为:，

根据频率的概念可知投掷次数逐渐增加，P稳定在g附近.

故选D.

4.A【解析】解：根据定义得：1加=*2-刀-1=0,•.,a=l,b=-l,c=T,

••・△=/-4或=(-1)2-4x1x(-1)=5>0,

原方程有两个不相等的实数根，

故选A.

5.A【解析】解：把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到X2-2X=3,

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=3+1,

配方得(x-1)2=4.

故选：A.

6.A【解析】根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形.故选A.

7.B【解析】解：如图，将三条小路分别平移到矩形ABCQ的最左边和最下边，则剩余部分EFG。也是一

个矩形，它的面积=草地的面积.

-------------------------G

7H-------------------------------V

设小路的宽度为x米，则DE为(90-2%)米QG为(60-x)米，

依题意，得(90-2x)(60-x)=5192,

整理，得炉-105犬+104=0,

解得M=1,X2=104(不合题意，舍去).

故小路的宽度为1米.

故选:B.

8.A【解析】•••四边形BGDH是菱形，；.BG=GD,

设AB=x,贝!|AD=3x,

设AG=y,则GD=3x-y,BG=3x-y,

•・•在RSAGB中,AG2+AB2=GB2,

/.y2+x2=(3x-y)2,

X3

整理得：-=41

>14

4

y=§x，

4

AG=JL=r=4,

AD3x3x9

故选A.

9.C【解析】△ABC、ADCE是等边三角形，，NACB=NDCE=60。，AC=CD,

/.ZACD=180°-ZACB-ZDCE=60°,

.-.△ACD是等边三角形，

；.AD=AC=BC,故①正确；

由①可得AD=BC,

VAB=CD,

四边形ABCD是平行四边形，

；.BD、AC互相平分，故②正确；

由①可得AD=AC=CE=DE,

故四边形ACED是菱形，即③正确.

综上可得①②③正确，共3个.

故选C.

10.B【解析】解：•••各三角形都是等腰直角三角形，

二直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，

A(2,0),A5(4,0),A9(6,0)

72021^4=505.......1,

点A2021在x轴正半轴，纵坐标是0,横坐标是(2021+3)+2=1012,

...—2021的坐标为(1012,0).

故答案选：B.

11.2.4【解析】解:VAC=2,AE=5,

；.CE=3,

AB〃CD〃EF,

.AC

-CE黑呜嘿

・・・BD=2.4,

故答案为：2.4

2020

12.【解析】

2021

〃ace2020

辞-=—=-=----

附bdf2021

al2c21e2020

・=--

「5一国一升一2021

•_a__-_\2__c_+__2_\_e___2_0_2_0

9b-\2d+2]f~2021,

2020

故答案为:

2021

13.3【解析】解：设〃=/+冷原方程化为：""-2）=3

整理，得"2-2〃一3=0,

解得，%=3,%=-1（负值不合题意，舍去）

/.x2+y2=3,

故答案为：3

14.30。【解析】解：•・♦四边形ABCD是矩形，

・・・ZB=90°,

YE为边AB的中点，

AAE=BE,

由折叠的性质可得：ZEFC=ZB=90°,ZFEC=ZCEB,ZFCE=ZBCE,FE=BE,

AAE=FE,

/.ZEFA=ZEAF=75°,

/.ZBEF=ZEAF+ZEFA=150°,

:.ZCEB=ZFEC=75°,

JZFCE=ZBCE=90°-75°=15°,

・・・ZBCF=30°,

故答案为30°.

15."或"【解析】解：在RSABC中,VZC=90°,AB=5,AC=4,；.BC=3.

87

直线EF将/B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时,

根据折叠的性质：BE=DE

设BE=x,则DE=x,AE=10-x

①当NADE=90。时，则DE〃BC,

.DE_AE

**AB*

.x5-x

・・—=----，

35

解得:X4,

o

②当NAED=90。时，

则4AED^AACB,

.DE_AE

^~BC~~AC9

.x5-x

••一=----，

34

解得：X=£,

故所求BE的长度为：个或

【解析】

(1)(6X-1)2-25=0

(6x—1+5)(6x—1—5)=0,

6x+4=0,6x—6=0,

2

解得：x1=l,x2=--；

(2)2X2-4X-30=0

2(X2-2X-15)=0

2(x-5)(x+3)=0

x—5=0,x+3=0,

解得，占=5,%=-3

17.(1)见解析；(2)16

【解析】

(1)如图，

(2)AABC的面积为4,位似比2:1,

/.△的面积是4x22=16.

18.(1)200,25%；(2)补图见解析；(3)恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率为9.

0

【解析】

(1)本次问卷调查共调查的观众数为45+22.5%=200(人)；图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总

人数的百分比为50-200=25%；

(2)最喜爱“新闻节目”的人数为200-50-35-45=70(人)，

如图，

你最喜爰的电视节目条

(3)画树状图为:

CD

/1\/N

ABDABC

共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2,

所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率=[=巳

12o

19.(1)80-x,200+1Ox,800-200-(200+1Ox)(2)70元.

【解析】(1)80-x,200+1Ox,800-200-(200+10x)；

(2)根据题意，得

80x200+(80-x)(200+1Ox)+40[800-200-(200+1Ox)]-50x800=9000.

整理，得X2-20X+100=0,解这个方程得XI=X2=10,

当x=10时，80-x=70>50.

答：第二个月的单价应是70元.

20.(1)见解析；(2)m=8.

【解析】

(1)证明:依题意可得A=(2m+l)2-4(/n-2)

=4nJ2+9>0

故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)由根与系数的关系可得：

1A+々=-(2m+1)

=m-2

由占+々+3%々=1，得-(2机+1)+3(机-2)=1,解得帆=8.

21.(1)见解析；(2)FG=2y/3

【解析】(1)・・,四边形A3CQ是平行四边形，

J.AD//BC.

：.ZDAE=ZAEB.

TAE平分/BAO,

JZDAE=ZBAE.

：.NAEB=ZBAE.

：.AB=BE.

同理：AB=AF.

:.AF=BE,AF//BE,

.••四边形A8E尸是平行四边形.

5L'：AB=BE,

...四边形ABEF是菱形.

(2)•..四边形ABEF是菱形，

：.AE±BF,OA=OE,OB=OF,AE平分NBAD,

VAB=2,ZBAD=60°,

：./BAE=30°,ZFBE=ZABF=60°,

：.OB=OF=\,

；.BF=2,

又；FGLBF,

.\ZBFG==90°,

ZG==30°,

；.BG=4,

FG=\lBG2-BF2=28•

22.(1)①②③④；(2)(答案不唯一)选③，证明见解析

【解析】

(1):△DAC和△EBC均是等边三角形，

；.AC=CD,CE=BC,ZACD=ZBCE=60°,

,:A、C、B三点在一条直线上，

AZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,即/ACE=NDCB,

AAACE^ADCB(SAS),

ZCAM=ZCDN,

故③正确；

VZACD=ZBCE=60°,

ZDCN=180°-2乂60。=60。，

；./ACM=/DCN,又/CAM=NCDN,AC=CD,

AACM^ADCN(ASA),

；.AM=DN,

故①正确；

V