存在性综合题专项探究

存在性综合题探究一、【等腰三角形的存在性问题】1.〔2023黄冈〕抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕顶点为C〔1，1〕且过原点O，过抛物线上一点P〔x，y〕向直线作垂线，垂足为M，连FM〔如图〕．

〔1〕求字母a，b，c的值；

〔2〕在直线x=1上有一点F〔1，〕，求以PM为底边的等腰△PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

〔3〕对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N〔1，t〕，使PM=PN恒成立，假设存在请求出t值，假设不存在请说明理由．

2.〔2023山西)如图，直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为〔8，0〕，又点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒〔〕．〔1〕求直线的解析式．〔2〕设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．〔3〕试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？二、【特殊四边形的存在性问题】3．〔2023南宁〕如图，把抛物线y=-x2〔虚线局部〕向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．

〔1〕分别写出抛物线l1与l2的解析式；

〔2〕设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．

〔3〕在抛物线l1上是否存在点M，使得，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．

4．(2023陕西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点.〔1〕求该抛物线的表达式；〔2〕点在轴上，点在抛物线上，要使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点的坐标.5．(2023山西)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA,OC边所在直线为轴、轴建立如图1所示的平面直角坐标系.〔1〕求点B的坐标；ONMyBCDEEAFx〔2〕D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EBONMyBCDEEAFx〔3〕点M是〔2〕中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由.6．〔2023贵州〕如图，抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C〔0，3〕，与轴交于A、B两点〔点A在点B的右侧〕，点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动〔点P与A不重合〕，过点P作PD∥轴，交AC于点D．〔1〕求该抛物线的函数关系式；〔2〕当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；〔3〕在问题(2)的结论下，假设点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？假设存在，求点F的坐标；假设不存在，请说明理由．三、【直角三角形的存在性问题】图107．〔2023广东〕如图10，直角梯形OABC中，OC∥AB，C〔0，3〕，B〔4，1〕，以BC为直径的圆交x轴于E，D两点〔D点在E图10〔1〕求点E,D的坐标;〔2〕求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式；〔3〕过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？假设不存在，说明理由；假设存在，求出点Q的坐标.8．〔2023广东〕如图〔1〕，〔2〕所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动〔点M可运动到DA的延长线上〕，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答以下问题：〔1〕说明△FMN∽△QWP；〔2〕设0≤x≤4〔即M从D到A运动的时间段〕．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？〔2〕ABCDFMNW〔2〕ABCDFMNWPQ〔〔1〕ABMCFDNWPQ四、【其他存在性问题】9．〔2023沈阳〕如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+1与x轴正半轴交于点F〔16，0〕，与y轴正半轴交于点E〔0，16〕，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕如图2，假设正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q〔运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合〕．设点A的坐标为〔m，n〕〔m＞0〕