高一数学必修4第三章综合检测题

第三章综合检测题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．sin2eq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)的值为(C)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝－(cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是(B)A.eq\f(π,2)3B．πC．2π D．4π[解析]f(x)＝sin2x－cos2x＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，故T＝eq\f(2π,2)＝π.3．已知cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，则cos(eq\f(3π,2)＋2θ)＝(C)A．－eq\f(4\r(2),9)B．－eq\f(7,9)C.eq\f(4\r(2),9)D.eq\f(7,9)[解析]cos(eq\f(3π,2)＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).4．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于(D)A．－3B．－eq\f(1,3)C．3D.eq\f(1,3)[解析]tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(1,3).5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是(A)A.eq\f(5,4)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(3,2)D．1＋eq\f(\r(2),3)[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(5,4).6．y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是(B)A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．2D．－2[解析]y＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))，∴ymax＝－eq\r(2).7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝(D)A．－1B．－eq\f(1,5)C.eq\f(5,7)D.eq\f(1,7)[解析]tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝eq\f(tanβ－α－tanα,1＋tanβ－αtanα)＝eq\f(3－2,1＋6)＝eq\f(1,7).8．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则|eq\o(PQ,\s\up16(→))|的最大值是(B)A.eq\r(2)B．2C．4D.eq\f(\r(2),2)[解析]eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则|eq\o(PQ,\s\up16(→))|＝eq\r(cosβ－cosα2＋sinβ－sinα2)＝eq\r(2－2cosα－β)，故|eq\o(PQ,\s\up16(→))|的最大值为2.9．函数y＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x－sin2x)的最小正周期为(C)A．2πB．πC.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)[解析]y＝eq\f(1＋tan2x,1－tan2x)＝tan(2x＋eq\f(π,4))，∴T＝eq\f(π,2).10．若函数f(x)＝sin2x－eq\f(1,2)(x∈R)，则f(x)是(D)A．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数[解析]f(x)＝sin2x－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(1－2sin2x)＝－eq\f(1,2)cos2x，∴f(x)的周期为π的偶函数．11．y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x的一个单调递增区间是(B)A．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]B．[eq\f(π,12)，eq\f(7,12)π]C．[eq\f(5,12)π，eq\f(13,12)π]D．[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)][解析]y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x＝sin2xcoseq\f(π,3)－cos2xsineq\f(π,3)－sin2x＝－(sin2xcoseq\f(π,3)＋cos2xsineq\f(π,3))＝－sin(2x＋eq\f(π,3))，其增区间是函数y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的减区间，即2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，∴kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，当k＝0时，x∈[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]．(2)|a－c|2＝(coseq\f(3x,2)－eq\r(3))2＋(sineq\f(3x,2)＋1)2＝cos2eq\f(3x,2)－2eq\r(3)coseq\f(3x,2)＋3＋sin2eq\f(3x,2)＋2sineq\f(3x,2)＋1＝5＋2sineq\f(3x,2)－2eq\r(3)coseq\f(3x,2)＝5＋4sin(eq\f(3x,2)－eq\f(π,3))，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.21．设函数f(x)＝eq\f(\r(2),2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋sin2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋eq\f(π,2))＝g(x)，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，g(x)＝eq\f(1,2)－f(x)；求函数g(x)在[－π，0]上的解析式。[解析]f(x)＝eq\f(\r(2),2)cos(2x＋eq\f(π,4))＋sin2x＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)(1－cos2x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin2x(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π(Ⅱ)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，g(x)＝eq\f(1,2)－f(x)＝eq\f(1,2)sin2x当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，(x＋eq\f(π,2))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))g(x)＝g(x＋eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)sin2(x＋eq\f(π,2))＝－eq\f(1,2)sin2x当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))时，(x＋π)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))g(x)＝g(x＋π)＝eq\f(1,2)sin2(x＋π)＝eq\f(1,2)sin2x得：函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)sin2x－\f(π,2)≤x≤0,\f(1,2)sin2x－π≤x<\f(π,2)))22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(1－tanx)·[1＋eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))]，求：(1)函数f(x)的定义域和值域；(2)写出函数f(x)的单调递增区间．[解析]f(x)＝(1－eq\f(sinx,cosx))(1＋eq\r(2)sin2xcoseq\f(π,4)＋eq\r(2)cos2xsineq\f(π,4))＝(1－eq\f(sinx,cosx))(2sinxcosx＋2cos2x)＝2(cosx－sinx)(