高三数学二轮复习强化练14：计数原理与概率

强化练14计数原理与概率一、单项选择题1．(2023·汕头模拟)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为()A．2563 B．27C．2553 D．62.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,\r(x))))8的展开式的第3项的系数是()A．112 B．－112C．－28 D．283．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A．30种 B．60种C．120种 D．240种4．(2023·信阳模拟)2023年5月28日国产大飞机C919由上海飞抵北京，这标志着C919商飞成功，开创了中国商业航空的新纪元．某媒体甲、乙等四名记者去上海虹桥机场、北京首都机场和中国商飞总部进行现场报道，若每个地方至少有一名记者，每个记者只去一个地方，则甲、乙同去上海虹桥机场的概率为()A.eq\f(1,18)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)5．(2023·合肥模拟)某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有()A．150种 B．540种C．900种 D．1440种6．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()A．0.8B．0.6C．0.5D．0.47．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展开式中常数项是10，则m等于()A．－2B．－1C．1D．28．(2023·昆明模拟)随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．①若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；②若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为()A．50% B．60%C．70% D．80%二、多项选择题9．(2023·南京模拟)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))6的展开式中()A．常数项为160B．含x2项的系数为60C．第4项的二项式系数为15D．所有项的系数和为110．某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则()A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种11．(2023·莆田模拟)甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件Ai(i＝0,1,2)表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则()A．A0，A1，A2两两互斥B．P(B|A2)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(1,2)D．B与A1不相互独立12．(2023·台州模拟)对∀x∈R，设x2023＝a1Beq\o\al(1,x)＋a2Beq\o\al(2,x)＋…＋akBeq\o\al(k,x)＋…＋a2023Beq\o\al(2023,x)，其中Beq\o\al(k,x)＝x(x－1)…(x－k＋1)，k＝1,2，…，2023，则()A．a1＝1B．a1＋a2＝22023C.eq\i\su(k＝2,2023,)(－1)kk！ak＝0D.eq\i\su(k＝2,2023,)(－1)k－2(k－2)！ak＝2022三、填空题13．(x－2y＋1)6展开式中含x2y项的系数为_________________________________________．14．北京日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如图所示．某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开．已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径．则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过________个主要景点；该小组全程共有________条行动路线可供选择．15．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台利用大数据推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为eq\f(3,4)；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为eq\f(1,3)；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为eq\f(2,5)，那么电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率为________．16．(2023·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”．现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是________．参考答案1．A2.A3.C4.A5.C6.A7．D[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5＋eq\f(m,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,5)(－1)kx5－2k，令5－2k＝－1，解得k＝3，则xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展开式的常数项为－Ceq\o\al(3,5)＝－10；令5－2k＝1，解得k＝2，则eq\f(m,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展开式的常数项为mCeq\o\al(2,5)＝10m，因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2.]8．C[抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，记一次正面朝上一次反面朝上为事件A，则共有2种情况满足要求，则P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，Peq(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，设回答①且画“√”为事件B，则P(B|A)＝eq\f(1,2)，则P(A)·P(B|A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，设回答②且画“√”为事件C，则P(C)＝eq\f(\f(3,3＋2)－PA·PB|A,P\x\to(A))＝eq\f(\f(3,5)－\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(7,10)，所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为70%.]9．BD[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))6展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)(－2)kx6－2k.对选项A，取k＝3得到常数项为Ceq\o\al(3,6)(－2)3＝－160，错误；对选项B，取k＝2得到含x2项的系数为Ceq\o\al(2,6)(－2)2＝60，正确；对选项C，取k＝3得到第4项的二项式系数为Ceq\o\al(3,6)＝20，错误；对选项D，取x＝1得到所有项的系数和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,1)))6＝1，正确．]10．ABD[若甲、乙左右相邻，可选择三至七排，(10＋4＋3＋6＋4)Aeq\o\al(2,2)＝54，所以一共有54种购票情况，故A正确；甲、乙在同一列的情况共有Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,5)＝106(种)，则甲、乙不在同一列的情况有Aeq\o\al(2,36)－106＝1154(种)，所以一共有1154种购票情况，故B正确；若甲、乙前后相邻，先选座位，有2＋4＋4＋1＋2＋4＋4＝21(种)，再考虑甲乙顺序，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)，所以一共有42种购票情况，故C错误；银幕中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位，甲、乙分坐于两侧，有Aeq\o\al(2,2)×18×18＝648(种)情况．甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有Aeq\o\al(2,2)(5×6＋3×3＋3×2＋4×4＋3×3)＝140(种)情况，所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648－140＝508(种)，故D正确．]11．AC[A0表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，A1表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，A2表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次试验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确；P(B|A2)＝eq\f(PA2B,PA2)＝eq\f(\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))×\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,6)),\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4)))＝eq\f(2,3)，故B错误；P(B)＝P(B|A0)P(A0)＋P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,6))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＋eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))×eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＋eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,6))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，故C正确；P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(A1B)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3)，则P(A1B)＝P(A1)P(B)，所以B与A1相互独立，故D错误．]12．ACD[对于A，令x＝1，可得a1＝12023＝1，所以A正确；对于B，令x＝2，可得2a1＋2a2＝22023，所以a1＋a2＝22022，所以B不正确；对于C，由eq\i\su(k＝2,2023,)(－1)kk！ak＝(－1)2·2！·a2＋…＋(－1)2023·2023！·a2023＝2！·a2－3！·a3＋…－2023！·a2023，又由x2023＝a1Beq\o\al(1,x)＋a2Beq\o\al(2,x)＋…＋akBeq\o\al(k,x)＋…＋a2023Beq\o\al(2023,x)，且Beq\o\al(k,x)＝x(x－1)…(x－k＋1)，可得x2023＝a1x＋a2x(x－1)＋…＋a2023x(x－1)·(x－2)…(x－2022)，令x＝－1，可得－1＝－a1＋2！a2－3！a3＋4！a4＋…－2023！a2023，因为a1＝1，所以2！a2－3！a3＋…－2023！a2023＝0，即eq\i\su(k＝2,2023,)(－1)kk！ak＝0，所以C正确；对于D，因为Beq\o\al(k,x)＝x(x－1)…(x－k＋1)，k＝1,2，…，2023，可得eq\f(B\o\al(k,x),xx－1)＝(x－2)(x－3)…(x－k＋1)，因为x2023＝a1Beq\o\al(1,x)＋a2Beq\o\al(2,x)＋…＋akBeq\o\al(k,x)＋…＋a2023Beq\o\al(2023,x)，其中a1＝1，Beq\o\al(1,x)＝x，所以1＋x＋x2＋…＋x2021＝eq\f(x2022－1,x－1)＝eq\f(x2023－x,xx－1)＝a2·eq\f(B\o\al(2,x),xx－1)＋a3·eq\f(B\o\al(3,x),xx－1)＋…＋a2023·eq\f(B\o\al(2023,x),xx－1)＝a2＋a3(x－2)＋…＋a2023(x－2)(x－3)…(x－2022)，取x＝1，可得2022＝a2－a3＋2！·a4－…－2021！·a2023，所以eq\i\su(k＝2,2023,)(－1)k－2(k－2)！ak＝2022，所以D正确．]13．－12014.53515.eq\f(37,60)解析设事件A表示电商平台第一次给小李推送某商品