第四章-圆与方程小结与复习(学案)

PAGEPAGE1第四章圆与方程小结与复习(学案)【学习探究】【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程，表示_____________．（2）圆的一般方程．①当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示__________；②当时，方程只有实数解，，即只表示_______；③当时，方程_____________________________________________．综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．2．点与圆的关系的判断方法：（1）>，点在_____；（2）=，点在______；（3）<，点在______．3．直线与圆的位置关系设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆______；（2）当时，直线与圆________；（3）当时，直线与圆________．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆_______；（2）当时，圆与圆______；（3）当时，圆与圆____；（4）当时，圆与圆___；（5）当时，圆与圆______．5．空间直角坐标系任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标．空间中任意一点到点之间的距离公式________________．【题型归类】题型一：求圆的方程例1．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．题型二：圆的切线问题例2．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B.求经过两切点的直线方程．变式练习：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x2+y2－4x－4y+7=0相切，求光线L、m所在的直线方程．题型三：与圆有关的动点轨迹问题例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．【思想方法】1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决2.数学方法:圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．【自我检测】1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为（）．（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（）．(A)(B)4(C)(D)23.点的内部，则的取值范围是（）．(A)(B)(C)(D)4.自点的切线，则切线长为（）．(A)(B)3(C)(D)55.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是()．(A)(B)(C)(D)6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）．(A)1，-1(B)2，-2(C)1（D）-17.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）．(A)(B)(C)（D）8.过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）．(A)(x-3)2+(y+1)2=4(B)(x+3)2+(y-1)2=4(C)(x-1)2+(y-1)2=4（D）(x+1)2+(y+1)2=49．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）．(A)(B)(C)（D）10．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）．(A)相切(B)相交(C)相离（D）相切或相交11.已知圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若.求m的值．12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．第二章圆与方程小结与复习(教案)【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程，表示圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．（2）圆的一般方程．①当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；②当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）；③当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．2．点与圆的关系的判断方法：（1）>，点在圆外；（2）=，点在圆上；（3）<，点在圆内．3．直线与圆的位置关系设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆相交．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含．5．空间直角坐标系任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标．空间中任意一点到点之间的距离公式．【题型归类】题型一：求圆的方程例1．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【审题要津】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．解：设所求的圆的方程为：．∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：．∴所求圆的方程为：．；．得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，．【方法总结】条件恰给出三点坐标，不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解．题型二：圆的切线问题例2．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B.求经过两切点的直线方程．【审题要津】此题考察过切点的直线的求法，但是要与切点在圆上的切线求法区别开来，此题不要通过求切点的方法来求直线方程，这样计算会很繁琐．解：设圆(x－1)2+(y－1)2=1的圆心为，由题可知,以线段P为直径的圆与与圆交于AB两点,线段AB为两圆公共弦,以P为直径的圆方程．①已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1②①②作差得x+2y-=0，即为所求直线的方程．【方法总结】通过两圆作差来求公共弦，是非常简便的求法．变式练习：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x2+y2－4x－4y+7=0相切，求光线L、m所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是它关于x轴的对称圆的方程为设光线L所在的直线方程是y-3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离为1，即解得．故所求入射光线L所在的直线方程为：这．时反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线m所在的直线方程为：3x－4y－3=0或4x－3y+3=0．题型三：与圆有关的动点轨迹问题例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．【审题要津】如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是，①，上运动，所以点A的坐标满足方程,即．②把①代入②，得．【方法总结】此题属于相关点问题，相关点问题的求轨迹方法利用代入法．【思想方法】1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决2.数学方法:圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值依次为（B）．（A）2、4、4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（C）．(A)(B)4(C)(D)23.点的内部，则的取值范围是（A）．(A)(B)(C)(D)4.自点的切线，则切线长为（B）．(A)(B)3(C)(D)55.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(D)．(A)(B)(C)(D)6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（D）．(A)1，-1(B)2，-2(C)1（D）-17.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（C）．(A)(B)(C)（D）8.过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（C）．(A)(x-3)2+(y+1)2=4(B)(x+3)2+(y-1)2=4(C)(x-1)2+(y-1)2=4（D）(x+1)2+(y+1)2=49．直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（C）．(A)(B)(C)（D）10．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（C）．(A)相切(B)相交(C)相离（D）相切或相交11.已知圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，