双曲线补充讲义-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1、焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1（）。在双曲线中，最大（）是双曲线，须满足.时，焦点在x轴上；时，焦点在y轴上是双曲线，须满足，时，焦点在x轴上；时，焦点在y轴上。2、若双曲线方程为的渐近线：，若双曲线方程为的渐近线：;3、若渐近线方程为双曲线可设为(也是共离心率方程）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）7、特别地：当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；6、与双曲线共焦点的双曲线系方程是【讲透例题】1、方程表示双曲线的充分不必要条件是（）A．或 B． C． D．或2、若双曲线一条渐近线为且过，则双曲线的方程为：3、设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为4．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为A．B．C．D．【相似题练习】1、（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A．若1＜t＜5，则C为椭图B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜52．若，则是方程表示双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3、下列条件下求双曲线标准方程（1）经过两点；（2）过点(3，－)，离心率e＝；（3）中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．双曲线的几何性质：1、双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2a，虚轴长为2b；④准线：两条准线；⑤双曲线的离心率：，或e=cc2−b2,等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。2、共轭双曲线：(，)与(，)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距。主要性质：它们有共同的渐近线，它们的离心率满足：。3、等轴双曲线：，离心率为，其方程可设为；两条渐近线互相垂直；4、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，双曲线中过焦点的最短弦不一定是通径，是实轴长或通径.5、双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：,当在右支上时，,.，;当在左支上时，,,，;6、双曲线的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用，求出eq\f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝c2－a2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq\f(c,a)(e)的方程求e.（构造齐次式）(3)求离心率范围时，常需根据条件或双曲线的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(1，+∞)取交集．7、焦点到渐近线的距离.8、双曲线形状与的关系：渐近线斜率，越大，即斜率的绝对值就越大，即双曲线的离心率越大，开口就越阔。9、P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.10、焦点三角形两底角分别为，则离心率为：的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2．已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条3．已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为（）A． B． C． D．4、已知双曲线与有相同的渐近线，且过点，则该双曲线的方程为 .5、双曲线的一个焦点为，则的值是。6、若方程表示等轴双曲线，则m= ，离心率e= .7．过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A.－=1B.－=1C.－=1D.－=18．已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为()A.B.C.2D.31、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；2．双曲线的顶点到渐近线的距离是__________.3、已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则双曲线的渐近线方程为（） B． C． D．4、已知椭圆C1：1及双曲线C2：1，均以（2，0）为右焦点且都经过点（2，3），则椭圆C1与双曲线C2的离心率之比为_____.5、设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0,b>0）中，离心率,则两条渐近线夹角θ的取值范围是________6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B.eq\f(3x2,4)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝17、已知是双曲线的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为（）A．B．C．D．8、已知双曲线的左、右焦点分别为，.若双曲线上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【题模6】焦点三角形（双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：1、与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。2、双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，，则双曲线的焦点角形的面积为3、过焦点F1的直线与双曲线相交于A、B两点，则△ABF2的周长：4a+2|AB|.1．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长（）A．28B．22 C．14 D．122．设点F1、F2是双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．3、已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）A．15 B．16 C．18 D．201.过双曲线x2y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是2.P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（） A． B．12 C． D．243．已知双曲线:的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于A． B． C． D．【题模9】双曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在双曲线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝eq\f(b2x0,a2y0)；(1)过双曲线上一点的切线:：斜率为。(2)直线(k≠0)过双曲线上两点、，中点为，则有.直线(有k)过双曲线上两点、，线段中点为，则有.(3)若、是双曲线上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有.(4)若、是双曲线上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、的任意一点，则,1．过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为.2、已知双曲线