自主招生材料学生版 - 函数

自主招生冲刺培训第二讲函数高斯函数的性质对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数.进一步，记{x}=x－[x]，则函数y={x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分.根据高斯函数的定义，可得到其如下性质.性质1对任意x∈R，均有x－1<[x]≤x<[x]+1.性质2对任意x∈R，函数y={x}的值域为.性质3高斯函数是一个不减函数，即对任意x1,x2∈R，若x1≤x2,则[x1]≤[x2].性质3若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质4若x,y∈R，则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.性质5若n∈N*,x∈R,则[nx]≥n[x]性质6若n∈N*,x∈R,则.性质7若n∈N*,x∈R+,则在区间[1,x]内，恰有个整数是n的倍数.性质8设p为质数，n∈N*,在p在n!的质因数分解式中的幂次为1、方程解（函数零点）的问题例1.方程一共有个解.练习：1、所有的满足条件的正整数对的个数为．2、设为方程的根（），则__.例2.解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【评述】通过观察方程的特点，将方程适当化简。练习：1、（2012年北约）2、若，且为正整数，则3、已知是实数,二次函数满足，求证：－1与1中至少有一个是的根.4、已知m，n为正整数.(1)用数学归纳法证明：当x＞－1时，(1＋x)m≥1＋mx；(2)对于n≥6，已知，求证：(m=1,2,3,…,n)；(3)求出满足等式3n＋4n＋…＋(n＋2)n＝(n＋3)n的所有正整数n.5、关于的方程至少有一个解,则实数的范围是_____________6、求方程x2＋x＝y4＋y3＋y2＋y的整数解．2、函数值域（最值）问题例3设A={a|a=7p,p∈N*},在A上定义函数f如下：若a∈A，则f(a)表示a的数字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，设函数f的值域是集合M.求证：M={n|n∈N*,n≥2}.例4设正实数x,y满足xy=1，求函数f(x,y)=的值域.（其中（[x]表示不超过x的最大整数）例5求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。练习:1、（03全国）已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－1，则函数的最小值是（）A． B C． D．2、（05全国）使关于的不等式有解的实数的最大值是（）A．B．C．D．3、（01全国）函数y＝x＋的值域为_______________.例6求函数f(x)=的最大值。例7设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．练习：1、已知点在曲线y=ex上，点在曲线y=lnx上，则的最小值是_______例8.设（是实数），当时，.求的最大可能值.练习：1、（2010华约）设．过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（）（A）1（B）（C）（D）例9.设函数（1）若与在同一个值时都取得极值，求的值.（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有求：①的表达式；②的最大值及相应的值.3、函数性质例10.设是连续的偶函数,且当时是严格单调函数,则满足的所有之和为().A.B.-8C.3D.例11.（06天津）已知、是关于的二次方程的两个根，且，若函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）对任意的正数、，求证：．练习:1、若，且，则角的取值范围是.4、求值问题例12.已知，定义，则；练习：1、已知多项式f(x)满足：,则_________例13.设x,y∈R，且满足，求x+y.例14.已知实数满足，，则与的大小关系为.例15.求和：=（其中表示不超过的最大整数）.例16：设集合映射f：F→Z.使得的值.例17.（04全国）设函数，且对任意，则=_____________________。练习：1、已知，过点(－1,1)的直线l与该函数图象相切，且(－1,1)不是切点，则直线l的斜率为(