购房中的数学问题

《购房中的数学问题》——研究性学习报告研究班级：研究小组成员：指导老师：（一）研究背景：数学在实际生活中有着广泛的应用，而作为当今高中生除了学会知识外，用知识来解决实际生活问题也是我们必须掌握的一门技能。在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我们对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。于是，数学老师的鼓励下，我们小组对“购房中的数学问题”进行研究。（二）研究目的意义通过联系实际，从生活中出发进行研究，充分拓展数列的学习内容，以促进学生的对数列的理解，培养学生对学习数列的兴趣。提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。通过本课题的研究，探索提高学生的应用能力、理解能力和实践能力的新方法，全面提高学生的综合素质，培养创新型人材。（三）研究方法资料调查法、文献资料收集法、例题分析法、联系实际（四）遇到的困难1.向楼盘售房部咨询时相关人员拒绝透露具体信息。

2.对家庭具体收入情况不是很清楚。3.对于银行的相关政策不是很了解。4.第一次从事研究性活动，办法很少，找不到方向。（五）研究内容在探究数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。问题：某地一位居民为了改善家庭的住房条件，决定在2003年重新购房。某日，他来到了一个房屋交易市场，面对着房地厂商林林总总的宣传广告，是应该买商品房呢还是应该买二手房呢？他一时拿不定主意。以下是他的家庭状况以及可供选择的方案家庭经济状况家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。现有存款6万元，但是必须留2万元-3万元以备急用。预选方案1.买商品房：一套面积为80m2的住宅，每平方米售价为1500元2.买二手房：一套面积为110m2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。购房还需要贷款。这位居民选择了一家银行申请购房贷款。该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为本金部分=贷款部分÷贷款期季数，利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）×季利率准备工作：调查购房贷款的要求，建立数学模型。提出问题：利用数列知识，根据以上购房贷款方式，预选方案1、2到底哪个是他的最佳选择？实验步骤：方案1:如果首付3.6万（约为住房总价值的30%），贷款8.4万，季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例.每季等额归还本金:84000÷(15×4)=1400(元)第一个季度利息:84000×1.26%=1058.4(元)则第一个季度还款额为1400+1058.4=2458.4(元)第二个季度利息:(84000-1400×1)×1.26%=1040.76(元)则第二个季度还款额为1400+1040.76=2440.76(元)……第60个季度利息:(84000-14000×59)×1.26%=17.64(元)则第60个季度(最后一期)的还款额为1400+17.64=1417.64(元)可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为17.64元,其和为:15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为17.64元，其和为：方案2：因为首付4万，所以需要贷款10.2万，季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例。每季等额归还本金：102000÷（15×4）=1700（元）第一个季度利息：102000×1.26%=1285.2（元）则第一个季度还款额为：1700+1285.2=2985.2（元）第二个季度利息：（102000-17001）1.26%=1263.78（元）则第二个季度还款额为：1700+1263.78=2963.78（元）……第60个季度利息：（102000-170059）1.26%=21.42（元）则第60个季度（最后一期）的还款额为1700+21.42=1721.42（元）可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为21.42元,其和为:15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为21.42元，其和为：实验结果：建议这个居民采用方案1，理由如下：因为这个居民每月的家庭总收入为3000元，那么每个月用于偿还购房贷款的金额为600~900元较为合适，每个季度为1800~2700元。如果采用方案1，满足上述条件。如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为a1=2985.2，公差为d=21.42的等差数列。若an=2985.2+21.42（n-1）>2700，则n<15.也就是说，当n<15（个季度）时，每个季度的还款额大于2700元，即在大于11年的时间内，偿还银行的钱占这个家庭收入的30%以上，显然给这个家庭生活造成了较大的负担。（2）以贷款15年为例，方案2比方案1需要多支付利息39198.6-32281.2=6917.4（元）（3）方案2中的住房是旧房，使用年限较短。实验反思：把实际问题转化为数列的模型，再通过解不等式求得。 首先我们要弄清楚题意，了解数列的建立、数列的分析和解法，以及贷款的知识和不等式的解法。为了巩固和熟悉这方面知识，我们应该把问题结合到实际生活中，把抽象转为形象，对其做探究。（六）研究过程1.准备阶段（2011年7学生分组，明确研究课题，拟定计划，多途径收集文献资料，选取和编制报告结构等。2.实施阶段（2011年7小组成员分配工作，首先了解购房中的数学，把收集的资料总结归纳。再根据各成员所收集的资料，进行研究讨论，对购房中的数学有更深的了解，并加强对其学以致用。3.总结阶段（2011年7将所有数据用word文档进行总结归纳。分析内容和记录，开展交流探讨活动，撰写研究报告。（七）研究结果使我们对数列的内容进行深入了解，加强了对学习数学的趣味。加强对数列应用，推及到日常的生活中。提高我们运用数学知识来分析和解决生活实际问题的能力。（八）学生体会与收获通过这次研究性学习活动,我们有了很多收获。首先,这次活动让我们深刻体会到“数学知识源于实际生活,又为实际生活服务。”数学的运用很广,生活中处处有数学，日常生活中蕴含的许多熟悉,有趣的，新奇的数学问题,都可以用我们课本的知识解决。第二,研究性活动让我们学会更好的领悟运用数学,知道数学不仅限于课堂,要懂得用数学眼光,数字思维,数学方法观察生活,认识世界。在生活中多思考运用。第三,活动提高了我们发现问题的能力,应用数学的意识。我们通过活动明确了为什么学习数学,学数学的意义，这更激发了我们不断探索发现数学规律。第四,研究活动让学生选择感兴趣的项目，合作探究，利用信息，借助工具，深入调查，多方面研究，最后得出研究结果。这个活动加强了我们的合作精神，也使得我们变得更有耐心！（九）教师反思