高考数学圆锥曲线大题集大全

/高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ)建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：ADMBNl2l1eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)ADMBNl2l1求点G的横坐标的取值范围．2.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3.已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若.求证：4.椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为a.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg;（2）若2<tg<3，求椭圆率心率e的取值范围.5.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于CD两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6.在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围7.设，为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若，且（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若，则OAPBM在右准线上，且满足；.（1）求该双曲线的离心率；（2）若该双曲线过N（2，），求双曲线的方程；（3）若过N（2，）的双曲线的虚轴端点分别为B、B（B在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且时，直线AB的方程.16.以O为原点，所在直线为轴，建立如所示的坐标系。设，点F的坐标为，，点G的坐标为。（1）求关于的函数的表达式，判断函数的单调性，并证明你的判断；（2）设ΔOFG的面积，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当取最小值时椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为，C、D是椭圆上的两点，且，求实数的取值范围。17.已知点C为圆的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，且，求△FOH的面积的取值范围。18.如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中。AAOB（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。19.设O为坐标原点,曲线上有两点P、Q满足关于直线对称，又以PQ为直径的圆过O点.（1）求的值;（2）求直线PQ的方程.20.在平面直角坐标系中，若，且，（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知定点，若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点，且对于轨迹上任意一点，都存在，使得成立，试求出满足条件的实数的值。21.已知双曲线（a>0,b>0）的右准线一条渐近线交于两点P、Q，F是双曲线的右焦点。（I）求证：PF⊥；（II）若△PQF为等边三角形，且直线y=x+b交双曲线于A，B两点，且，求双曲线的方程；（III）延长FP交双曲线左准线和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。22.已知又曲线在左右顶点分别是A，B，点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是M，点P关于点B的对称点是N，且M、N都在此双曲线上。

（I）求此双曲线的方程；

（II）求直线MN的倾斜角。23.如图，在直角坐标系中，点A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。设与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若。（I）求点P的轨迹G的方程；（II）设过点C（0，-1）的直线与轨迹G交于不同两点M、N。问在x轴上是否存在一点，使△MNE为正三角形。若存在求出值；若不存在说明理由。24.设椭圆过点，且焦点为。（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上。25.平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足、 （1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：.26.设，、分别为轴、轴上的点，且，动点满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过定点任意作一条直线与曲线交与不同的两点、，问在轴上是否存在一定点，使得直线、的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.27.如图，直角梯形ABCD中，∠，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=椭圆F以A、B为焦点，且经过点D，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；CBDA（Ⅱ）是否存在直线与两点，且线段，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.CBDA28.如图所示，B（–c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且．（1）若=0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；（2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当―5≤≤时，求椭圆的离心率e的取值范围．29.在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：①；②；③∥（1）求的顶点的轨迹方程；（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围答案：1.解：(Ⅰ)以A点为坐标原点，l1为x轴，建立如图所示的坐标系，则D(1，0)，B(4，0)，设M（x，y），则N（x，0）.∵|BN|=2|DM|，∴|4－x|=2eq\r((x－1)2+y2),整理得3x2+4y2=12,∴动点M的轨迹方程为eq\f(x2,4)+\f(y2,3)=1.(Ⅱ)∵∴A、D、G三点共线，即点G在x轴上；又∵∴H点为线段EF的中点；又∵∴点G是线段EF的垂直平分线GH与x轴的交点。设l：y=k(x－1)(k≠0)，代入3x2+4y2=12得(3+4k2)x2－8k2x+4k2－12=0，由于l过点D(1，0)是椭圆的焦点，∴l与椭圆必有两个交点，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF的中点H的坐标为（x0，y0），∴x1+x2=eq\f(8k2,3+4k2)，x1x2=eq\f(4k2－12,3+4k2)，x0=eq\f(x1+x2,2)=eq\f(4k2,3+4k2)，y0=k(x0－1)=eq\f(－3k,3+4k2)，∴线段EF的垂直平分线为y－y0=－eq\f(1,k)(x－x0)，令y=0得，点G的横坐标xG=ky0+x0=eq\f(－3k2,3+4k2)+eq\f(4k2,3+4k2)=eq\f(k2,3+4k2)=eq\f(1,4)－eq\f(3,4(3+4k2))，∵k≠0，∴k2>0，∴3+4k2>3，0<eq\f(1,(3+4k2))<eq\f(1,3)，∴－eq\f(1,4)<－eq\f(3,4(3+4k2))<0，∴xG=eq\f(1,4)－eq\f(3,4(3+4k2))(0，eq\f(1,4)）∴点G的横坐标的取值范围为(0，eq\f(1,4)）.2.解：∵，∴由得∴设椭圆的方程为（）即（）设是椭圆上任意一点，则（）若即，则当时，由已知有，得；若即，则当时，由已知有，得（舍去）.综上所述，，.所以，椭圆的方程为.3.解：（I）由已知∴椭圆的方程为，双曲线的方程.又∴双曲线的离心率（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）设M得M为AP的中点∴P点坐标为将M、p坐标代入c1、c2方程得消去y0得解之得由此可得P（10，当P为（10，时PB：即代入MN⊥x轴即4.解：（1）由题意可知所以椭圆方程为设，将其代入椭圆方程相减，将代入可化得（2）若2<tg<3，则5.解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0依题意解得∴椭圆方程为（2）假若存在这样的k值，由得∴①设，，，则②而要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即∴③将②式代入③整理解得经验证，，使①成立综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E6.解：（1）设，点在线段的中垂线上由已知；又∥，又，顶点的轨迹方程为.(2)设直线方程为：，，由消去得：①，而由方程①知＞＜，＜＜，.7.解：解：令则即即又∵∴所求轨迹方程为（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在设AB方程为则∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB∴得所求直线方程为…8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0准线方程且有m=4n.∵准线与直线交点在x轴上，交点为又与x轴交于（－2，0），∴m=4，n=1∴抛物线方程为y2=4（x+1）（II）由∴－1＜k＜1且k≠0∴AB的中垂线方程为得∴p∈（2，+∞）（III）∵抛物线焦点F（0，0），准线x=－2∴x=－2是Q的左准线设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（±x，y）若F为左焦点，则c=x＞0，b=|y|∴a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有即y2=2x（x＞0）若F为右焦点，则x＜0，故c=－x，b=|y|∴a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有即化简得2x2+2x+y2=0即（x＜0，y≠0）9.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB的方程为由于点P在AB上，可设P点的坐标为则长方形面积化简得易知，当（21）解：设A（－c,0）,A1(c,0)，则（其中c为双曲线的半焦距，h为C、D到x轴的距离）即E点坐标为设双曲线的方程为，将代入方程，得①将代入①式，整理得消去由于10.解：1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有

两式作差有

(1)

F(2,0)为三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得直线BC的方程为

2)由AB⊥AC得（2）设直线BC方程为，得

，

代入（2）式得

，解得或直线过定点（0，，设D（x,y）则即

所以所求点D的轨迹方程是。11.解：(1)依题意，可设直线的方程为代入抛物线方程得①设两点的坐标分别是、、是方程①的两根.所以由点分有向线段所成的比为，得又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.所以(2)由得点的坐标分别是（6，9）、（－4，4）,由得所以抛物线在点处切线的斜率为,设圆的圆心为,方程是则解得则圆的方程是(或)12.解：（1）直线l的方程是：，即，经过定点（0，1）；又M（p，），设x=p，y=，消去p，得到的轨迹方程为：.由有，其中△=4p2+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点.（2）由，设A（），则=，又函数的导函数为，故A处的切线的斜率也是，从而AP是曲线C的切线.对于另一个解同样可证.（3）当A（）时，tan=，tan==，tantan=1，又易知与都是锐角，所以=90°；当A（）时，tan=，tan==，tantan=-1，又易知是钝角，都是锐角，所以=90°.总之或是定值.13.解：（1）设P点坐标为，则，化简得，所以曲线C的方程为；（2）曲线C是以为圆心，为半径的圆，曲线也应该是一个半径为的圆，点关于直线的对称点的坐标为，所以曲线的方程为，该圆的圆心到直线的距离为，，或，所以，，或。14.解：（Ⅰ）(法一)由题意知,,,,（1分）解得.由双曲线定义得:,所求双曲线的方程为:(法二)因,由斜率之积为,可得解.（Ⅱ）设,(法一)设P的坐标为,由焦半径公式得,,，的最大值为2,无最小值.此时,此时双曲线的渐进线方程为(法二)设,.(1)当时,,此时.(2)当,由余弦定理得: ,,,综上,的最大值为2,但无最小值.(以下法一)15.解：（1）由知四边形PF为平行四边形，∵（∴OP平分∠，∴平行四边形PFOM为菱形，又∵∴.（2）∵∴∴双曲线的方程为∴所求双曲线的方程为（3）依题意得∴、B、B共线，不妨设直线AB为：y=kx-3,A(x则有，得，因为的渐进线为，当时，AB与双曲线只有一个交点，不合题意，当∴，又，∴∴所求的直线AB的方程为.16.解：（1）由题意知，则函数在是单调递增函数。（证明略）（4分）（2）由，点G，因在上是增函数，当时，取最小值，此时，依题意椭圆的中心在原点，一个焦点F（3，0），设椭圆方程为，由G点坐标代入与焦点F（3，0），可得椭圆方程为：（9分）（3）设，则，由，，因点C、D在椭圆上，代入椭圆方程得，，消去，得，又，则实数的取值范围为。17.解：（1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线，于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是点Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴a=的椭圆，短半轴点Q的轨迹E方程是：.（2）设Ｆ（x1，y1）H（x2，y2），则由，消去y得又点O到直线FH的距离d=1，18.解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（－c，0），B（c，0）依题意：∴点P的轨迹为以A、B为焦点，实半轴为a，虚半轴为的双曲线右支∴轨迹方程为：。（2）法一：设M（，），N（，）依题意知曲线E的方程为，l的方程为设直线m的方程为由方程组，消去y得①∴∵直线与双曲线右支交于不同的两点∴及，从而由①得解得且当x＝2时，直线m垂直于x轴，符合条件，∴又设M到l的距离为d，则∵∴设，由于函数与均为区间的增函数∴在单调递减∴的最大值＝又∵而M的横坐标，∴法二：为一条渐近线①m位于时，m在无穷远，此时②m位于时，，d较大由点M∴故19.解：(1)曲线表示以为圆心,以3为半径的圆,圆上两点P、Q满足关于直线对称,则圆心在直线上,代入解得(2)直线PQ与直线垂直,所以设PQ方程为,.将直线与圆的方程联立得由解得..又以PQ为直径的圆过O点解得故所求直线方程为20.解：（1）∵，且，

∴动点到两个定点的距离的和为4，∴轨迹是以为焦点的椭圆，方程为（2）设，直线的方程为，代入，

消去得，由得，且，∴设点，由可得∵点在上，∴∴，又因为的任意性，∴，∴，又，得，代入检验，满足条件，故的值是。21.解：(1)不妨设.,F.(c,0)设k2=∴k1k2=－1.即PF⊥.（2）由题.x2－bx－b2=0,∴a=1,∴双曲线方程为（3）y=－M(－∴N（－）.又N在双曲线上。∴∴e=22.解：（I）点A、B的坐标为A（-3，0），B（3，0），设点P、M、N的坐标依次为

则有

②4-①得，解得c=5

故所求方程是

（II）由②得，

所以，M、N的坐标为

所以MN的倾斜角是23.解：（I）由已知，当时，当时，，也满足方程<1>∴所求轨迹G方程为（II）假设存在点，使为正△设直线方程：代入得：∴MN中点在正△EMN中，与矛盾∴不存在这样的点使△MNE为正△24.解：（1）由题意：，解得，所求椭圆方程为（2）解：设过P的直线方程为：，设，，则，∵，∴，即，化简得：，∴，去分母展开得：化简得：，解得：又∵Q在直线上，∴，∴即，∴Q恒在直线上。25.解：（1）解：设即点C的轨迹方程为x+y=1 26.解：（1）设，则、，又，，即.（2）设直线的方程为：，、假设存在点满足题意，则，，即，，，又，由于，则对不同的值恒成立，即对不同的值恒成立，则，即，故存在点符合题意.27.解：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图