2019年秋安徽专版沪科版初二上册数学授课资料：等腰三角形中作辅助线的四种常用方法

第3节

等腰三角形第3课时

等腰三角形中作辅助线的四种常用方法

第十五章

轴对称图形与等腰三角形1234561．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：DE＝DF；(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段？(不说明理由)1方法作“三线”中的“一线”（1）证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.返回（2）解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段AE、AF、BE、CF、DF.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与边BC相交于点D. (1)求证：PD＝QD；2方法作平行线法(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．（1）证明：如图，过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∵∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.(2)解：ED的长度保持不变．理由如下：由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝

BC，∴ED的长度保持不变．返回3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．3方法截长补短法

解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE.∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC.∴AE＝EC.故设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x.∴∠B＝2x.∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，则∠C＝20°.返回4．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.

证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD.∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.返回5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.4方法加倍折半法

证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝AB，∴BF＝BD.在△CBF与△CBD中，∴△CBF≌△CBD(SAS)．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.返回6．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.

证明：延长BA交CE的延长线于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE.∴EM＝EC＝12MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC.