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文档简介
第3节
等腰三角形第3课时
等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
第十五章
轴对称图形与等腰三角形1234561.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)求证:DE=DF;(2)若∠A=90°,图中与DE相等的有哪些线段?(不说明理由)1方法作“三线”中的“一线”(1)证明:连接AD.∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠EAD=∠FAD.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°.又∵AD=AD,∴△AED≌△AFD,∴DE=DF.返回(2)解:若∠BAC=90°,图中与DE相等的有线段AE、AF、BE、CF、DF.2.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A,B不重合),同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与边BC相交于点D. (1)求证:PD=QD;2方法作平行线法(2)过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.(1)证明:如图,过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ.在△PFD和△QCD中,∵∠DPF=∠DQC,∠PDF=∠QDC,PF=CQ,∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.(2)解:ED的长度保持不变.理由如下:由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF.由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=CD,∴ED=EF+FD=BE+CD=
BC,∴ED的长度保持不变.返回3.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.3方法截长补短法
解:在DC上截取DE=BD,连接AE,∵AD⊥BC,∴AD是线段BE的垂直平分线,∴AB=AE.∴∠B=∠AEB.∵AB+BD=CD,DE=BD,∴AB+DE=CD.而CD=DE+EC,∴AB=EC.∴AE=EC.故设∠EAC=∠C=x,∵∠AEB为△AEC的外角,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x.∴∠B=2x.∴∠BAE=180°-2x-2x=180°-4x.∵∠BAC=120°,∴∠BAE+∠EAC=120°,即180°-4x+x=120°,解得x=20°,则∠C=20°.返回4.如图,已知AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于D,求证:BC=AB+CD.
证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD=∠ABC,又∵BD=BD,∴△ABD≌△EBD.∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB.∵AB=AC,∠A=108°,∴∠ACB=∠ABC=×(180°-108°)=36°,∴∠ABD=∠EBD=18°,∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°,∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°,∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°,∴∠CDE=∠DEC,∴CD=CE,∴BC=BE+EC=AB+CD.返回5.如图,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.4方法加倍折半法
证明:如图,延长CE到点F,使EF=CE,连接FB,则CF=2CE.∵CE是△ABC的中线,∴AE=BE.在△BEF和△AEC中,∴△BEF≌△AEC(SAS).∴∠EBF=∠A,BF=AC.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.∵CB是△ADC的中线,∴AB=BD.∵AB=AC,AC=BF,∴BF=AB,∴BF=BD.在△CBF与△CBD中,∴△CBF≌△CBD(SAS).∴CF=CD.∴CD=2CE.返回6.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD.求证:BD=2CE.
证明:延长BA交CE的延长线于点M.∵CE⊥BD,∴∠BEC=∠BEM=90°.∵BD平分∠ABC,∴∠MBE=∠CBE.又∵BE=BE,∴△BME≌△BCE.∴EM=EC=12MC.∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠MAC=90°,BA=AC.
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