理论力学03空间力系的简化和平衡

1第三章空间力系的简化和平衡2静力学

工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；

(b)图中去了风力为空间平行力系。迎面风力侧面风力b3第五章空间力系§5–1空间汇交力系

§5–2空间力偶系

§5–3力对点的矩与力对轴的矩

§5–4空间一般力系向一点的简化

§5–5空间一般力系简化结果的讨论

§5–6空间一般力系的平衡方程及应用

§5–7平行力系的中心与物体的重心习题课4静力学一、空间力的投影（与力的分解）：

1.力在空间的表示： 力的三要素：大小、方向、作用点(线)

大小： 作用点：在物体的哪点就是哪点

方向：由、、g三个方向角确定 由仰角

与俯角

来确定。bgqFxyO§3-1空间汇交力系5静力学2、一次投影法〔直接投影法〕由图可知：3、二次投影法〔间接投影法〕当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即6静力学4、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：而：所以：FxFyFz7静力学

1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和2、解析法： 由于 代入上式 合力 由 为合力在x轴的投影，∴二、空间汇交力系的合成与平衡：8静力学3、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。9静力学

称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程∴解析法平衡充要条件为：∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：10静力学

在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。

[例]汽车反镜的球铰链§3-2空间力矩理论一、力对点的矩的矢量表示如果r表示A点的矢径，那么：11静力学即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。两矢量夹角为O力矩矢在直角坐标中的三个投影12静力学定义： 它是代数量，方向规定+–二、力对轴的矩结论：力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。[证]力对空间点之矩在该轴上的投影13静力学力对轴之矩的计算方法：1、先将力向该轴的正交平面分解，再计算该分力对轴的平面力矩。2、力矩关系定理

定理：力对轴之矩等于该力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。

即：需要证明设转轴为Z轴，其上任一点为原点O，到力作用线上任一点之距离为下式表达r14静力学比较即得：前述有：一般推导时各量均应设为正值15静力学力对任意轴之矩的求法：先求出力对该轴上任意一点之矩，再在该轴的方向做投影---与该轴矢量做点积。等于这力对于该轴的矩。两平面的法矢分别为：轴线方程：轴方向矢：对任意轴的矩16静力学17静力学§3-3空间力偶理论

由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。 一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺旋定那么。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。空间力偶是一个自由矢量。18[证]①作平面II//Ⅰ，线段cd//ab ②各作一对平衡力作用在c、d点并使其与F1平行和相等 ③由ad、bc点平行力合成得-R=R' ④在I内的力偶〔F1，F1‘〕等效变成II内的〔F2，F2'〕静力学力偶等效定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，假设它们的转向相同，力偶矩的大小相等，那么两个力偶等效。 19静力学空间力偶系的合成与平衡由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法那么。合力偶矩=分力偶矩的矢量和显然空间力偶系的平衡条件是：20静力学

把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。§3-4空间任意力系的简化和平衡

设作用在刚体上有空间一般力系向O点简化〔O点任选〕一、空间任意力系向指定点简化21静力学①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系：和附加力偶系

[注意] 分别是各力对O点的矩。②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。22静力学③合成 得主矢即 〔主矢过简化中心O， 且与O点的选择无关〕合成 得主矩即： 〔主矩与简化中心O有关〕23静力学假设取简化中心O点为坐标原点，那么：主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:那么主矩大小为：主矩方向： 24静力学

二、空间任意力系的平衡条件：所以空间任意力系的平衡方程为：

还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。25静力学空间汇交力系的平衡方程为： 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程，设各力线都//z轴。

因为 均成为了恒等式。26静力学

空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。三空间一般力系简化结果的分析1、若 ,则该力系平衡（下节专门讨论）。2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。3、若 则力系可合成为一个合力，主矢等于原力系合力矢，合力通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

27静力学

4、若 此时分两种情况讨论。即：①

②

①若 时可进一步简化，将MO变成(

R'',R)使R'与R''抵消只剩下R。28静力学②若 时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）[例]①拧螺丝

②炮弹出膛时炮弹螺线③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角

在此种情况下，<1>首先把MO

分解为M//和M

<2>将M//和M

分别按①、②处理。''29静力学M

使主矢R'搬家，搬家的矩离：所以在O'点处形成一个力螺旋。因为M//是自由矢量，可将M//搬到O'处M//不变，

结论：空间力系最终可简化成四种情况之一：一力、力偶、力螺旋或平衡。因此空间力系的最简力系为一力、或一力偶、或一力螺旋.30静力学[注意]力系简化中的不变量〔不随简化中心改变〕有：R′，M//简化中心为O时：为M当简化中心为O′时，为M′ 但M//总是不变的〔它是原力系中的力偶与简化中心无关〕

31静力学定理：合力对任一点的矩，等于各分力对同一点的矩的矢量和 即：四、合力矩定理以汇交力系为例 [证]

R

x

y

z

O

Fn

F3

F2

F1Ar32静力学将向坐标轴投影，得定理：合力对任一轴的矩，等于各分力对同一轴的矩的代数和合力矩定理不仅对汇交力系成立，而且对一般力系也成立。33静力学例3.4在边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有大小都等于P的力，方向如图。求此力系的最终简化结果。先分解再合成34静力学点积为零作用线方程35静力学例3.6正方形薄板ABCD，边长为a，由6根直杆支撑，板和各杆均在立方体ABCDEFGH的面上；如下图。在A点沿板边AD作用水平力P，板和各杆的重量不计。求各杆内力。解：为了画图表示更清，我们假设各杆受压，各杆对板的作用力如图。【薄板ABCD】36静力学仅FN2有矩N5，仅N6未知37静力学以上解题过程并不是唯一的，比方，在求出N5后，可以将力系向AB轴投影求出N2；可以在一开始，将力系向BC轴投影求出N4；等等。通过上例可见，在空间力系平衡问题的求解中，如果将力投影轴和计算力矩的轴选取适宜、平衡计算的顺序选取适宜，计算工作可以大大简化，希望学生通过练习掌握这种技能38静力学

空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C

就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。§3-5平行力系中心与重心一、空间平行力系的中心1、平行力系的中心

由合力矩定理：合力作用线上任一点矢径为39静力学其中e为正方向的单位矢量注意e方向的任意性，即有：rc为合力作用线上一点的矢径；与平行力系的指向无关；由于力系中各力大小一定、相对刚体有固定作用点，即对于取定的固定点O，矢径r为常矢量，它代表刚体内一个确定的点C，无论平行力系中各力绕各自的作用点怎样转动，其合力作用线总是通过刚体内一个确定的点C，点C就是平行力系中心。40静力学如果把物体的重力都看成为平行力系，那么求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：

物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。二、物体的重心：41静力学设

i表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：式中 ，上式为重心C坐标的精确公式。对于均质物体，

=恒量，上式成为：同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。42静力学

根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x轴取矩得：综合上述得重心坐标公式为：若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得质心公式43静力学同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心〔几何中心〕坐标分别为：44解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段下面用积分法求物体的重心实例：[例]求半径为R，顶角为2

的均质圆弧的重心。O静力学45静力学三、重心的求法：①组合法例3.7求出图示两种平面图形〔阴影局部〕的重心坐标 解：46静力学解：

求：该组合体的重心？已知：47静力学简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。②实验法：

<1>悬挂法 <2>称重法48

第3章空间力系

3.8〔力偶平衡〕；3.10〔汇交力平衡〕；3.14，3.16〔练习空间力系取矩方法3.17〔质心〕习题49静力学

一、概念及内容：

1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，

2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。

3、空间力系合力投影定理：

4、空间力系的合力矩定理：

5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系：第三章《空间力系》习题课50静力学二、根本方程1、空间力系的平衡方程空间一般力系空间汇交力系空间力偶系空间∥x轴力系空间∥xoy

平面的力系四矩式、五矩式和六矩式的附加条件均为使方程式独立。51静力学三、解题步骤、技巧与注意问题：

1、解题步骤：①选研究对象

(与平面的相同)②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数2、空间力系的几个问题：①x,y,z(三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的六个轴。②取矩方程不能少于三个〔∵MO是矢量〕③空间力系独立方程六个〔∵空间物体六个自由度〕平面三个自由度④空间力系中也包括摩擦问题。52静力学2、解题技巧：①用取矩轴代替投影轴，解题常常方便②投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交

③一般从整体—>局部的研究方法。④摩擦力F=Nf，方向与运动趋势方向相反。3、注意问题：①力偶在投影轴中不出现〔即在投影方程中不出现〕②空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。③求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。53例题54静力学[例1]:P=20