第4章-弯曲内力

第四章弯曲内力第四章弯曲内力§4.4

剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图§4.1弯曲的概念和实例§4.2受弯杆件的简化§4.3剪力和弯矩工程实例:§4.1弯曲的概念

1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。

2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件

3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。

(1)受力特征外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.(2)变形特征

变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线RAF1F2RB

研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。

1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。

2.梁的支座简化(平面力系)：a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端§4.2受弯杆件的简化

3.静定梁(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁4.作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载一、截面法过程：切、取、代、平FAB剪力C弯矩§4.3

剪力和弯矩

①剪力—平行于横截面的内力，符号：Fs，正负号规定：使梁顺时针转动剪为正，反之为负.MMMMFSFSFSFS

②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为正)。剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：例:求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m1.剪力、弯矩方程：

2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。剪力图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧弯矩图为正值画在x轴上侧，负值画在x轴下侧§4.4

剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图

例:在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，试列剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。解：1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程+lFABCabFAFB+例:如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试列剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图.BAFlx解

(1)将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程和弯矩方程FSxFFlxM由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。

例:

在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程lABCabFAFBM++FSM例:图示简支梁受均布荷载q的作用，试列剪力方程和弯矩方程,并作该梁的剪力图和弯矩图。qlAB解：1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程+l/2§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：目录载荷集度、剪力和弯矩关系：q＝0，Fs=常数，剪力图为水平直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；

M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；

分布载荷向下（q<0），抛物线呈凸形。3.剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录5、也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。

从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。

从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。

§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。

建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题4-6

简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力求得A、B

二处的约束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程

2．确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系

5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs（kN）0.891.11§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）4．从A截面左测开始画弯矩图。

M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系从D右到B左从B左到B右目录qBADa4aFAyFBy例题4-7试画出梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。

3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。

B点的弯矩为-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左测开始画弯矩图

81qa2/32qa2§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）（+）（+）（-）

Fs例题4-8试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录小结1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图目录通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可推知剪力图和弯矩图的形状:

1.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支

座截面处为界点将梁分段.

2．若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而弯矩弯矩图为斜直线。3．若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。本书规定当（向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。4．在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶矩）5．梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs=0的截面处.例一简支梁受两个力F作用，如图所示。已知F=25.3kN，有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图.解(1)求梁的支反力将梁分为AC,CD,DB三段.BACD2001151265FFRARB231(2)剪力图23.61.727+最大剪力发生在DB段中的任一横截面上(3)弯矩图4.723.11+最大弯矩发生在C

截面例:一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图

所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解:(1)计算梁的支反力RARBEqABCD0.21.612将梁分为AC、CD、DB

三段.(2)剪力图80kN80kN最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.(3)弯矩图+161648单位：kN.m全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上.+解支座反力为RA

=81kNRB=29kNmA

=96.5kN.m例:

用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB

五段。(1)剪力图81kN31kN29kN+设距K截面为x

的截面上剪力FS=0.即(2)弯矩图96.53115.5x+55345中间铰链传递剪力(铰链左，右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m++例:作梁的内力图.解(1)支座反力为3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kN将梁分为AC、CD、

DB、BE四段.(2)剪力图7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mF点剪力为零,令其距A点为xx=5m(3)弯矩图201666+20.5例:已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图.AB段因为M(x)=常量，剪力图为水平直线，且FS(x)=0.40kN.mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力图BC段F

S(x)=常量,剪力图为水平直线CD段剪力图为水平直线且F

S(x)=0abcd20kNAB段无荷载.m=40kN.m(

)m在A处有集中力偶.(2)作荷载图40KN.mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=20kN(

)B

处有集中力.集中力BC段无荷载.C处有集中力.集中力:F=20kN(

)CD段无荷载.FF

例:已知简支梁的剪力图.作梁的弯矩图和荷载图.已知梁上没有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解(1)画荷载图AB段没有荷载，在B处有集中力,因为:所以F=20kN方向向下CABDF=20kNBC段

无荷载CD

段有均布荷载q(

)abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN(2)弯矩图AB段