多元函数微分学偏导数的应用

第五节偏导数的应用一.空间曲线的切线和法平面切线当M沿曲线L趋向于时,割线的极限位置MT法平面过而垂直于切线的平面1.设曲线导数不全为零即切向量切线方程法平面方程2.设曲线将x视为参数,切线方程法平面方程3.设曲线因为它确定隐函数y=y(x),z=z(x),所以利用隐函数微分法及情形2即可解决.例1求曲线在点(1,1,1)处的切线和法平面.法平面方程切线方程例2求曲线在点(1,1,1)处的切线和法平面.方程两边对x求导:在(1,1,1)点解得:法平面方程切线方程二.曲面的切平面与法线若曲面上过点的任意曲线的切线都位于同一平面.切平面过且与切平面垂直的直线法线1.设曲面方程为在该点偏导数连续且不全为零.是曲面上过的任一曲线:因为两边对t求导切平面法线2.设曲面方程为设当作第一种情形计算.切平面的法向量例4.在哪一点处的法线垂直于.例3.求在点(2,1,4)处的切平面和法线.在点(2,1,4):切平面方程法线方程练习三.多元函数的极值定义:设z=f(x,y)在点的某邻域内有定义,如果在该邻域内则称z=f(x,y)在点有极大值;反之,为极小值.极值极值点例如:极大值f(0,0)=1.极小值f(0,0)=0;定理1(极值必要条件)设z=f(x,y)在点具有偏导数且有极值,则驻点注:(1).由偏导数及一元函数极值易证;(2).(3).驻点不一定是极值点.例如:(0,0)是函数z=xy的驻点,但f(0,0)既不是极大值也不是极小值.定理2(极值充分条件)设z=f(x,y)在点的某邻域内具有二阶连续偏导数且记则时,是极值,且A<0时极大,A>0时极小.时,不一定是极值.时,不是极值;例5.求的极值.驻点(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在(1,0):f(1,0)=-5是极小值;在(1,2)及(-3,0):,不是极值;在(-3,2):f(-3,2)=31是极大值.注意:在多元函数中,我们只讨论可导函数的极值.最大值和最小值问题:(1).在闭区域上连续的函数一定有最大值和最小值,此时可以仿照一元函数的方法来比较求出.(2).在实际问题中,若问题的性质决定了最大值(最小值)一定在D内取得而函数在D内只有一个驻点,则该点处的函数值就是最大值(最小值).例6.用铁板作一容积为V的无盖长方箱,尺寸怎样时,用料最省?设长宽高分别为x,y,z,而V=xyz驻点即为所求例7.把宽为24cm的长方形铁板两边折起来做成断面为等腰梯形的水槽.怎样折才能使断面面积最大?设折起来的边长为x,倾角为24-xx可以解得驻点:即为所求四.条件极值对自变量有附加条件的极值例6就可以看作条件极值问题.前面的极值叫做无条件极值条件极值计算法:方法一.化为无条件极值;方法二.拉格朗日乘数法:条件简单时,如例6条件复杂或多个时例如,求在条件下的极值1.作函数拉格朗日乘数3.解出驻点(条件驻点);4.判断是否为条件极值点.判别法不要求,会用实际问题性质判断即可注:该方法可推广到自变量多于两个,条件多于一个的情形.例6.解法二:解出条件驻点:求在条件下的极值因为是唯一的驻点,所以即为所求设(x,y,z)为椭圆上一点,则x,y,z满足及距离解得:最