新教材同步辅导2023年高中数学第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原理及其简单应用分层演练新人教A版选择性必修第三册

第1课时两个计数原理及其简单应用A级基础巩固1.(2023·茂名期中)某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读,则不同的选法共有()A.24种B.9种C.3种D.26种解析:由分类加法计数原理可知,共有4+3+2=9种不同的选法,故选B.答案:B2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的任意一个讲座,不同选法的种数是()A.56 B.65C.5×D.6×5×4×3×2解析:每名同学都有5种选择,故共有5×5×5×5×5×5=56种选法.答案:A3.若a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圆的个数是()A.6 B.9 C.16 D.24解析:确定一个圆的方程可分为三个步骤:第一步,确定a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定r,有4种选法.由分步乘法计数原理,得不同圆的个数为3×2×4=24.答案:D4.某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,若从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种.解析:从6名守擂选手中任选1名,选法有6种;从6名复活选手中任选1名,选法有6种.由分步乘法计数原理,得不同的构成方式的种数为6×6=36.5.多空题如图①,在电路中合上一个开关以接通电路,有5种不同的方法;如图②,在电路中合上两个开关以接通电路,有6种不同的方法.图①图②解析:对于题图①,按要求接通电路,只需将A部分中的两个开关或B部分中的三个开关合上一个即可,故有2+3=5种不同的方法.对于题图②,按要求接通电路必须分两步进行:第1步,合上A部分中的一个开关;第2步,合上B部分中的一个开关,故有2×3=6种不同的方法.6.有一项活动,需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需1人参加,有多少种不同选法?(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,有多少种不同选法?(3)若需1名老师、1名学生参加,有多少种不同选法?解:(1)根据分类加法计数原理可得,只需1人参加,有3+8+5=16种不同选法.(2)根据分步乘法计数原理可得,需老师、男同学、女同学各1人参加,有3×8×5=120种不同选法.(3)根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得,需1名老师、1名学生参加,有3×(8+5)=39种不同选法.B级能力提升7.晓芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同样式的裤子,另有2套不同样式的连衣裙.若晓芳需选择1套服装参加歌舞演出,则不同的穿衣服的方式有()A.24种 B.14种C.10种 D.9种解析:首先分两类:第一类是穿衬衣和裤子,由分步乘法计数原理,知共有4×3=12种穿衣服的方式;第二类是穿连衣裙,有2种穿衣方式.所以由分类加法计数原理,知共有12+2=14种穿衣服的方式.答案:B8.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.相传大禹治水之时,有神龟出于洛水,其背上长有纹、图、点,自列成组,这就是“洛书”.结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数,如图.若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数,则选取的两数之和能被5整除的概率为()A.1B.3C.1D.3解析:由题意可知,阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5,7,9.各选一个数,共有4×5=20种选法.两数之和能被5整除的有(2,3),(4,1),(6,9),(8,7),共4个,根据古典概率公式可得P=420=1答案:C9.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中的回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读.数学中也有回文数,如343,12521等.两位数的回文数有11,22,33,…,99共9个,则在三位数的回文数中偶数的个数是40.解析:由题意,若三位数的回文数是偶数,则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2,中间一位数有10种可能,同理可得,如果末(首)位为4或6或8,中间一位数均有10种可能,所以有4×10=40个.10.现有高一年级四个班的学生34人,其中(1)(2)(3)(4)班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中1人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选1人任组长,有多少种不同的选法?(3)推选2人发言,这2人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?解:(1)分四类:第一类,从(1)班学生中任选1人,有7种选法;第二类,从(2)班学生中任选1人,有8种选法;第三类,从(3)班学生中任选1人,有9种选法;第四类,从(4)班学生中任选1人,有10种选法.所以不同的选法种数为7+8+9+10=34.(2)分四步:第一步、第二步、第三步、第四步分别从(1)(2)(3)(4)班学生中选1人任组长,所以不同的选法种数为7×8×9×10=5040.(3)分六类,每类又分两步:从(1)(2)班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从(1)(3)班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从(1)(4)班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从(2)(3)班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从(2)(4)班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从(3)(4)班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.所以不同的选法种数为7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431.C级挑战创新11.多空题从2,3,5,7,11这5个数中选出2个不同的数作为分数的分子、分母,则可产生不同的分数的个数是20,其中真分数的个数是10.解析:产生分数可分两步:第一步,产生分子有5种方法;第二步,产生分母有4种方法,共有5×4=20个分数.产生真分数,可分四类:第一类,当分子是2时,有4个真分数;同理,当分子分别是3,5,7时,真分数的个数分别是3,2,1,共有4+3+2+1=10个真分数.12.多空题从-1,0,1,2这4个数中选3个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的各项系数,可组成不同的二次函数共