高考数学总复习第二章 函数与导数第4课时 函数的奇偶性及周期性

函数与导数第4课时函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13～14页)考点分析考点新知①函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等.②能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.③了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1.(必修1P45习题8改编)函数f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函数，则实数m＝________．答案：eq\f(1,2)解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝eq\f(1,2).2.(必修1P43练习5改编)函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.答案：原点解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．3.(原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2015)＝________．答案：1解析：由条件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.4.(必修1P43练习4)对于定义在R上的函数f(x)，给出下列说法：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．其中，正确的说法是________．(填序号)答案：①③解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x>0，,x＋2，x<0，))由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．5.(必修1P54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．答案：x3＋x－1解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x3－x＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋x－1.1.奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3.函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．4.函数奇偶性和单调性的相关关系(1)注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关．(2)注意函数y＝f(x)与y＝eq\f(1,f（x）)的单调性之间的关系．(3)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性．(4)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性．5.函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)题型1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(3)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(4)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3).解：(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0且x≠－4.))故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.从而有f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，这时有f(－x)＝eq\f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋x；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x（x<0），,－x2＋x（x>0）；))(3)f(x)＝lg(x＋eq\r(x2＋1))．解：(1)定义域为R，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)(x＜0)．当x＞0时，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x2＋x)＝－f(x)(x＞0)．故函数f(x)为奇函数．(3)由x＋eq\r(x2＋1)>0，得x∈R，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋eq\r(x2＋1))＋lg(x＋eq\r(x2＋1))＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．题型2函数奇偶性的应用例2(1)设a∈R，f(x)＝eq\f(a·2x＋a－2,2x＋1)(x∈R)，试确定a的值，使f(x)为奇函数；(2)设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．解：(1)要使f(x)为奇函数，∵x∈R，∴需f(x)＋f(－x)＝0.∵f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)，∴f(－x)＝a－eq\f(2,2－x＋1)＝a－eq\f(2x＋1,2x＋1).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,2x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2x＋1,2x＋1)))＝0，得2a－eq\f(2（2x＋1）,2x＋1)＝0，∴a＝1.(2)由f(x)的定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<a－2<1，,－1<4－a2<1，))解得eq\r(3)<a<eq\r(5).由f(a－2)－f(4－a2)<0，得f(a－2)<f(4－a2)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(|a－2|)<f(|4－a2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2.综上，实数a的取值范围是eq\r(3)<a<eq\r(5)且a≠2.eq\a\vs4\al(变式训练)(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0))是奇函数，求a＋b的值；(2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围．解：(1)当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx.从而a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.(2)由f(x)的定义域是[－2，2]，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤1－m2≤2，))解得－1≤m≤eq\r(3).因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)<f(m2－1)．由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，所以在[－2，2]上是递减函数，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.综上，实数m的取值范围是－1≤m<1.题型3函数奇偶性与周期性的综合应用例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3)解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(2)证明：设x1、x2∈R，且x1＞x2，则x1－x2＞0，于是f(x1－x2)＜0.从而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＜0.所以f(x)为减函数．(3)解：由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.1.(2013·苏州期初)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)．当x∈(0，2)时，f(x)＝－x＋4，则f(7)＝________．答案：－3解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.2.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．3.(2013·天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))解析：因为f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，所以原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，解得eq\f(1,2)≤a≤2.4.(2013·盐城二模)设函数y＝f(x)满足对任意的x∈R，f(x)≥0且f2(x＋1)＋f2(x)＝9.已知当x∈[0，1)时，有f(x)＝2－|4x－2|，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2013,6)))＝________．答案：eq\r(5)解析：由题知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，因为f(x)≥0且f2(x＋1)＋f2(x)＝9，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\r(5)，如此循环得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(671,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4×168－1,2)))＝eq\r(5)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2013,6)))＝eq\r(5).1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1－x），x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x>0，))则f(2014)＝________．答案：1解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2014)＝f(4)＝1.2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．答案：7解析：由条件，当0≤x＜2时，f(x)＝x(x＋1)(x－1)，即当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根0，1，又由周期性，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根2，3，当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根4，5，而6也是f(x)＝0的根，故y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________．答案：[eq\r(2)，＋∞)解析：∵当x≥0时，f(x)＝x2且f(x)是定义在R上的奇函数，又f(x＋t)≥2f(x)＝f(eq\r(2x))，易知f(x)在R上是增函数，∴x＋t≥eq\r(2)x，∴t≥(eq\r(2)－1)x.∵x∈[t，t＋2]，∴t≥(eq\r(2)－1)(t＋2)，∴t≥eq\r(2).