高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用

考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题．2.B级考点：①同角三角函数的基本关系式②二倍角公式③三角函数的图象和性质④正弦定理和余弦定理1.(必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且eq\f(a,cosA)＝eq\f(c,sinC)，则A＝________．答案：eq\f(π,4)解析：由eq\f(a,cosA)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,cosA)，即sinA＝cosA，所以A＝eq\f(π,4).2.(必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图象，则φ＝________．答案：eq\f(11,6)π解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝eq\f(11,6)π时有y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,6)π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).3.(必修4P109习题3.3第6(2)题改编)taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12))＝________．答案：－2eq\r(3)解析：原式＝eq\f(sin\f(π,12),cos\f(π,12))－eq\f(cos\f(π,12),sin\f(π,12))＝eq\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,12)－sin2\f(π,12))),sin\f(π,12)cos\f(π,12))＝eq\f(－cos\f(π,6),\f(1,2)sin\f(π,6))＝－2eq\r(3).4.(必修4P115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cos2x＋eq\f(1,2)(x∈R)，则f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的值域是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))解析：f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，故值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).5.在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则边BC上的高为________．答案：eq\f(3\r(3),2)解析：由余弦定理，得7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，解得c＝3，所以边BC上的高h＝3sin60°＝eq\f(3\r(3),2).1.同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).2.两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ，tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1tanαtanβ).3.二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).4.三角函数的图象和性质5.正弦定理和余弦定理：(1)正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为三角形外接圆的半径)．(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).题型1三角恒等变换例1已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).(1)求cosA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋eq\f(5,2)sinAsinx的值域．解：(1)因为eq\f(π,4)<A<eq\f(π,2)，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，所以eq\f(π,2)<A＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),10).所以cosA＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10)·eq\f(\r(2),2)＋eq\f(7\r(2),10)·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,5).(2)由(1)可得sinA＝eq\f(4,5).所以f(x)＝cos2x＋eq\f(5,2)sinAsinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2)，x∈R.因为sinx∈[－1，1]，所以，当sinx＝eq\f(1,2)时，f(x)取最大值eq\f(3,2)；当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)(2013·上海卷)若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,2)，sin2x＋sin2y＝eq\f(2,3)，则sin(x＋y)＝________．答案：eq\f(2,3)解析：由题意得cos(x－y)＝eq\f(1,2)，sin2x＋sin2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝eq\f(2,3)sin(x＋y)＝eq\f(2,3).题型2三角函数的图象与性质例2已知函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ))，x∈R，A>0，0<φ<eq\f(π,2)，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝eq\f(2π,3)，求A的值．解：(1)由题意得T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.因为P(1，A)在y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ))的图象上，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1.因为0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6).(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．由题意可知eq\f(π,3)x0＋eq\f(π,6)＝eq\f(3π,2)，得x0＝4，所以Q(4，－A)．连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得cos∠PRQ＝eq\f(RP2＋RQ2－PQ2,2RP·RQ)＝eq\f(A2＋9＋A2－（9＋4A2）,2A·\r(9＋A2))＝－eq\f(1,2)，解得A2＝3.又A>0，所以A＝eq\r(3).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若sinα＋f(α)＝eq\f(2,3)，求eq\f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))＋1,1＋tanα)的值．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，即2sinωxcosφ＝0恒成立，∴cosφ＝0，又∵0≤φ≤π，∴φ＝eq\f(π,2).又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴T＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝cosx.(2)∵原式＝eq\f(sin2α－cos2α＋1,1＋tanα)＝2sinαcosα，又∵sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(4,9)，即2sinαcosα＝－eq\f(5,9)，故原式＝－eq\f(5,9).题型3正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2013·浙江)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝eq\r(3)b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝eq\r(3)b及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(\r(3),2).因为A是锐角，所以A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝eq\f(28,3).由三角形面积公式S＝eq\f(1,2)bcsinA，得△ABC的面积为eq\f(7\r(3),3).eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝eq\f(π,3)，a＝5，△ABC的面积为10eq\r(3).(1)求b，c的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,3)))的值．解：(1)由已知，C＝eq\f(π,3)，a＝5，因为S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，即10eq\r(3)＝eq\f(1,2)b·5sineq\f(π,3)，解得b＝8.由余弦定理可得：c2＝25＋64－80coseq\f(π,3)＝49,所以c＝7.(2)由(1)有cosB＝eq\f(25＋49－64,70)＝eq\f(1,7)，由于B是三角形的内角，易知sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,3)))＝cosBcoseq\f(π,3)＋sinBsineq\f(π,3)＝eq\f(1,7)×eq\f(1,2)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(13,14).题型4三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA，\f(1,2)))与n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．解：(1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋eq\r(3)cosA)－eq\f(3,2)＝0.所以eq\f(1－cos2A,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(3,2)＝0，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝1.因为A∈(0，π)，所以2A－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(11π,6))).故2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，A＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc，而b2＋c2≥2bcbc＋4≥2bcbc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)bc≤eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r(3).当△ABC的面积取最大值时，b＝c.又A＝eq\f(π,3)，故此时△ABC为等边三角形．eq\a\vs4\al(备选变式（教师专享）)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×sineq\f(π,3)＝eq\r(3).在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α、β均为锐角，求α＋β的值．学生错解：解：∵α为锐角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5).又β为锐角，∴cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10).∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(\r(2),2)，由于0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α＋β<180°，故α＋β＝45°或135°.审题引导：在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，π)时，一般选余弦函数，若是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则一般选正弦函数．规范解答：解：∵α为锐角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5).(2分)又β为锐角，∴cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10).(4分)且cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)，(10分)由于0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，因为y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))上是单调递减函数，故α＋β＝eq\f(π,4).(14分)错因分析：没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错．事实上，仅由sin(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的，但题设中sinα＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(1,2)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(1,2)，使得0°<α<30°，0°<β<30°从而0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根．本题中0<α＋β<π，因为y＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))上是单调函数，所以本题先求cos(α＋β)不易出错．1.(2013·常州期末)函数f(x)＝coseq\f(πx,2)coseq\f(π（x－1）,2)的最小正周期为________．答案：2解析：f(x)＝coseq\f(πx,2)coseq\f(π（x－1）,2)＝coseq\f(πx,2)·sineq\f(πx,2)＝eq\f(1,2)sinπx，最小正周期为T＝eq\f(2π,π)＝2.2.(2013·北京期末)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，则a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))解析：若－eq\f(π,3)≤x≤a，则－eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤a＋eq\f(π,6)，因为当x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)或x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，所以要使f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，则有eq\f(π,2)≤a＋eq\f(π,6)≤eq\f(7π,6)，即eq\f(π,3)≤a≤π，即a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).3.(2013·北京期末)已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，sinC＝eq\r(3)cosC，则△ABC的面积为________．答案：eq\f(\r(3),2)解析：由sinC＝eq\r(3)cosC，得tanC＝eq\r(3)>0，所以C＝eq\f(π,3).根据正弦定理可得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以sinA＝eq\f(1,2).因为AB>BC，所以A<C，所以A＝eq\f(π,6)，即B＝eq\f(π,2)，所以三角形为直角三角形，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2).4.(2013·新课标Ⅰ卷)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．答案：－eq\f(2\r(5),5)解析：∵f(x)＝sinx－2cosx＝eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)sinx－\f(2\r(5),5)cosx)).令cosφ＝eq\f(\r(5),5)，sinφ＝－eq\f(2\r(5),5)，则f(x)＝eq\r(5)(sinxcosφ＋sinφcosx)＝eq\r(5)sin(x＋φ)，当x＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x＝2kπ＋eq\f(π,2)－φ，k∈Z时，f(x)取最大值，此时θ＝2kπ＋eq\f(π,2)－φ，k∈Z，∴cosθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－φ))＝sinφ＝－eq\f(2\r(5),5).1.(2014·扬州期末)在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－eq\r(3))，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若△ABC面积为10eq\r(3)，b＝7，求此三角形周长．解：(1)m·n＝sinB－eq\r(3)cosB，∵m⊥n，∴m·n＝0，∴sinB－eq\r(3)cosB＝0.∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，∴tanB＝eq\r(3).∵0<B<eq\f(π,2)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac，由题设eq\f(\r(3),4)ac＝10eq\r(3)，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得49＝a2＋c2－ac，∴(a＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac＝49＋120＝169.∴a＋c＝13，∴三角形周长是20.2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的周长为eq\r(2)＋2，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.(1)求边c的长；(2)若△ABC的面积为eq\f(1,3)sinC，求角C的度数．解：(1)在△ABC中，∵sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC，由正弦定理，得a＋b＝eq\r(2)c，∴a＋b＋c＝eq\r(2)c＋c＝(eq\r(2)＋1)c＝eq\r(2)＋2.∴a＋b＝2，c＝eq\r(2).(2)在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,3)sinC，∴eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,3)，即ab＝eq\f(2,3).又a＋b＝2，在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq