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文档简介

2023-2024学年云南省楚雄州姚安县一中数学高三上期末综合测试模拟试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()A. B.4 C.5 D.2.已知为抛物线的焦点,点在抛物线上,且,过点的动直线与抛物线交于两点,为坐标原点,抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题:①在抛物线上满足条件的点仅有一个;②若是抛物线准线上一动点,则的最小值为;③无论过点的直线在什么位置,总有;④若点在抛物线准线上的射影为,则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.如图,四边形为平行四边形,为中点,为的三等分点(靠近)若,则的值为()A. B. C. D.4.函数在上的最大值和最小值分别为()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-25.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.6.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.7.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]8.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.129.已知是过抛物线焦点的弦,是原点,则()A.-2 B.-4 C.3 D.-310.已知抛物线上一点到焦点的距离为,分别为抛物线与圆上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.11.已知直线和平面,若,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要12.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若在上单调递减,则的取值范围是_______14.为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间的一等品,在区间和的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为__________.15.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是________(结果用最简分数表示)16.已知,,,的夹角为30°,,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.18.(12分)已知函数.(1)求函数的零点;(2)设函数的图象与函数的图象交于,两点,求证:;(3)若,且不等式对一切正实数x恒成立,求k的取值范围.19.(12分)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.20.(12分)为了解网络外卖的发展情况,某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市,分别调查了甲乙两家网络外卖平台(以下简称外卖甲、外卖乙)在今年3月的订单情况,得到外卖甲该月订单的频率分布直方图,外卖乙该月订单的频数分布表,如下图表所示.订单:(单位:万件)频数1223订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,约为3.64,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数,求的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?附:①参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,则,.21.(12分)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.22.(10分)已知是递增的等比数列,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出的值.【详解】解:,即,即.,则.,解得.,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角的正弦值余弦值.2、C【解析】

①:由抛物线的定义可知,从而可求的坐标;②:做关于准线的对称点为,通过分析可知当三点共线时取最小值,由两点间的距离公式,可求此时最小值;③:设出直线方程,联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,可知焦点坐标的关系,进而可求,从而可判断出的关系;④:计算直线的斜率之差,可得两直线斜率相等,进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解:对于①,设,由抛物线的方程得,则,故,所以或,所以满足条件的点有二个,故①不正确;对于②,不妨设,则关于准线的对称点为,故,当且仅当三点共线时等号成立,故②正确;对于③,由题意知,,且的斜率不为0,则设方程为:,设与抛物线的交点坐标为,联立直线与抛物线的方程为,,整理得,则,所以,则.故的倾斜角互补,所以,故③正确.对于④,由题意知,由③知,则,由,知,即三点在同一条直线上,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线的性质,考查了直线方程,考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题,结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.3、D【解析】

使用不同方法用表示出,结合平面向量的基本定理列出方程解出.【详解】解:,又解得,所以故选:D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义,属于基础题.4、B【解析】

由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.5、D【解析】

由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.6、D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.7、B【解析】

先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.8、D【解析】

推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.9、D【解析】

设,,设:,联立方程得到,计算得到答案.【详解】设,,故.易知直线斜率不为,设:,联立方程,得到,故,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中的向量的数量积,设直线为可以简化运算,是解题的关键.10、D【解析】

利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得,根据二次函数的性质,求得,由取得最小值为,求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上,准线方程,则点到焦点的距离为,则,所以抛物线方程:,设,圆,圆心为,半径为1,则,当时,取得最小值,最小值为,故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目.11、B【解析】

由线面关系可知,不能确定与平面的关系,若一定可得,即可求出答案.【详解】,不能确定还是,,当时,存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分条件,故选:B【点睛】本题主要考查了必要不充分条件,线面垂直,线线垂直的判定,属于中档题.12、B【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意可得导数在恒成立,解出即可.【详解】解:由题意,,当时,显然,符合题意;当时,在恒成立,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.14、100.【解析】分析:根据频率分布直方图得到三等品的频率,然后可求得样本中三等品的件数.详解:由题意得,三等品的长度在区间,和内,根据频率分布直方图可得三等品的频率为,∴样本中三等品的件数为.点睛:频率分布直方图的纵坐标为,因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率,把小矩形的高视为频率时常犯的错误.15、【解析】

依据古典概型的计算公式,分别求“任取两个数”和“任取两个数,和是质数”的事件数,计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为,“任取两个数,和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个,所以任取两个数,这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。16、1【解析】

由求出,代入,进行数量积的运算即得.【详解】,存在实数,使得.不共线,.,,,的夹角为30°,.故答案为:1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)是定值,且定值为2【解析】

(1)设出点坐标并代入椭圆方程,根据列方程,求得的值,结合求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的横坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得,由此化简求得为定值.【详解】(1)已知点在椭圆:()上,可设,即,又,且,可得椭圆的方程为.(2)设直线的方程为:,则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得:,由,可得,联立直线与椭圆的方程可得:,即,即.即为定值,且定值为2.【点睛】本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法,考查椭圆中的定值问题的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.18、(1)x=1(2)证明见解析(3)【解析】

(1)令,根据导函数确定函数的单调区间,求出极小值,进而求解;(2)转化思想,要证,即证,即证,构造函数进而求证;(3)不等式对一切正实数恒成立,,设,分类讨论进而求解.【详解】解:(1)令,所以,当时,,在上单调递增;当时,,在单调递减;所以,所以的零点为.(2)由题意,,要证,即证,即证,令,则,由(1)知,当且仅当时等号成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式对一切正实数恒成立,,设,,记,△,①当△时,即时,恒成立,故单调递增.于是当时,,又,故,当时,,又,故,又当时,,因此,当时,,②当△,即时,设的两个不等实根分别为,,又,于是,故当时,,从而在单调递减;当时,,此时,于是,即舍去,综上,的取值范围是.【点睛】(1)考查函数求导,根据导函数确定函数的单调性,零点;(2)考查转化思想,构造函数求极值;(3)考查分类讨论思想,函数的单调性,函数的求导;属于难题.19、(1),;(2).【解析】

(1)根据面积公式和数量积性质求角及最大边;(2)根据的长度求出,再根据面积比值求,从而求出.【详解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因为在中,,所以,因为(当且仅当时取等),所以长的最小值为;(2)在三角形中,因为为中线,所以,,所以,因为,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因为为角平分线,,,或2,所以,或,所以.【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用,属于中档题.20、(1)见解析,有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①4.911②100万元.【解析】

(1)根据频率分布直方图与频率分布表,易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量,即可完善列联表.通过计算的观测值,即可结合临界值作出判断.(2)①先根据所给数据求得样本平均值,根据所给今年3月订单数区间,并由及求得,.结合正态分布曲线性质可求得,再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组,根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润,比较即可得解.【详解】(1)对于外卖甲:

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