内蒙古自治区赤峰市红山区校级联考2023-2024学年高三上学期12月期中文数试题(含答案)

高三文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B.2 C. D.3.向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（）A. B. C.1 D.24.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（）A.， B.，且C.， D.，5.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C.3 D.46.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的最大值为2C.的图象关于轴对称 D.在区间上单调递减7.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完（开始善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的底转变，该作中有题为“李白洁酒”“李白街上走，提壶去买酒.遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒.借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A. B. C. D.8.设，，，则（）A. B. C. D.9.已知数列是等差数列，若，，则（）A.18 B.17 C.15 D.1410.若实数，满足不等式组，则的最大值为（）A.4 B. C. D.611.已知等比数列的各项都为正数，则，，成等差数列，则的值是（）A. B. C. D.12.已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则______.14.函数在点处的切线方程为______.15.已知直线和圆交于，两点，为坐标原点，若，则实数______.16.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为______.三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.2022年北京冬奥运动会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了100人进行调查，经统计男生与女生的人数比为9:11，男生中有20人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣.（1）完成列联表，并判断能否有99%把握认为“对冰壹运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男20女15合计100（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这6人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.附：，其中.0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.0763.8415.0246.63518.已知在的三个内角分别为，，，，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求长.19.四棱雉中，，，，，平面，在棱上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求证：平面.20.已知椭圆的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若不与坐标轴平行的直线与椭圆相切于点，为坐标原点，求直线与直线的斜率之积.21.已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；（2）若函数有两个极值点时，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线的参数方程为：（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若点，求的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（Ⅰ）若，解关于的不等式；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案1.【思路分析】容易求出，然后进行交集的运算即可.【解析】：，且；.故选：D.【总结归纳】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算.2.【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【解析】：，.故选：C.【总结归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.3.【思路分析】根据图形便可看出，这样即可得出的值.【解析】：根据图形可看出；满足与共线；.故选：D.【总结归纳】考查向量加法和数乘的几何意义，共线向量的概念.4.【思路分析】利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案.【解析】：对于A，令，则，为偶函数，而在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，故排除A；对于B，令，且，同理可证为偶函数，当时，，为增函数，故B满足题意；对于C，令，，，为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选：B.5.【思路分析】根据题意，设双曲线的焦点为，由双曲线的方程求出渐近线的方程，结合点到直线的距离公式可得，可得的值，由双曲线的几何性质计算求出的值，由离心率公式即可得答案.【解析】：根据题意，设双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线的方程为，即若双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则有，则，则双曲线的离心率；故选：B.【总结归纳】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题.6.【思路分析】先利用同角平方关系及二倍角余弦个公式对已知函数进行化简可得，结合余弦函数的性质对选项进行判断即可.【解析】：，函数的最小正周期，，为偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减，故在上单调递增.故选：C.【总结归纳】本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式，余弦函数的性质等知识的综合应用.7.【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解析】：模拟程序的运行，可得当时，，，满足条件，执行循环体；当时，，，满足条件，执行循环体；当时，，，不满足条件，退出循环体，输出，所以，.故选：B.【总结归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8.【思路分析】利用对数函数的单调性进行求解.当时函数为增函数当时函数为减函数，如果底不相同时可利用1做为中介值.【解析】：，故选：A.【总结归纳】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值.9.【思路分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出.【解析】：数列是等差数列，，，.解得，，.故选：B.【归纳与总结】本题考查数列的第7项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.10.【思路分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果.【解析】：作可行域如图，

则直线过点时取最大值4，故选：A.【总结归纳】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【思路分析】设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值.【解析】：设等比数列的公比为，且，，，成等差数列，，则，化简得，，解得，则，故选：A.【总结归纳】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题.12.【思路分析】令，.判断其奇偶性单调性即可得出.【解析】：令，.则，在上为奇函数.，函数在上单调递增.，化为：，即，化为：，，即，解得.实数的取值范围是.故选：C.【总结归纳】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.13.【思路分析】由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可.【解析】：，，，，则，故答案为：14.【思路分析】先求出的导数，再求出切点处的函数值，导数值，最后利用直线方程的点斜式，得切线方程.【解析】：由已知得，所以，，故切线方程为，即.故答案为：.【总结归纳】本题考查导数的几何意义.切线方程的求法.同时考查学生的运算能力.属于基础题.15.【思路分析】联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出.【解析】：由题可得圆心即为原点，联立可得，，解得，设，，则，，，则，解得，故选：A.【总结归纳】本题考查直线与圆交点个数与方程解个数的转化，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用.是中档题，16.【思路分析】依抛物线的定义，可得，，可得，由余弦定理得的范围，即可求解.【解析】：如图，依抛物线的定义，可得，，，由余弦定理得故答案为：.【总结归纳】本题考查了抛物线的性质，均值不定式的应用，余弦定理，属于中档题17.【思路分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论.（2）利用古典概型定义列举所有基本事件，找出满足条件的基本事件可得要求的概率.【解析】：（1）根据题意得如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男201545女401555合计6040100所以，所以有99%把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”.（2）对冰壶运动有兴趣的学生共60人，从中抽取6人，抽取的男生数、女生数分别为：，.记2名男生为，；生为，，，，则从中选取2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中含有1男1女的基本事件为：，，，，，，，共8个，记“对冰壶运动有兴趣的学生中抽取6人做宣传员，恰好一男一女”的事件为，则，故选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率为.【总结归纳】本题考查了独立性检验和古典概型的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目.18.【思路分析】（1）由已知结合同角平方关系可求，进而可求；（2）由已知结合和差角公式可求，然后结合正弦定理可求.【解析】：（1）中，，，即，解得，.（2）由正弦定理得，.【总结归纳】本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题.19.【思路分析】（Ⅰ）过作于，推导出，，从而平面，由此能求出；（Ⅱ）设到平面的距离为，由已知体积列式求得，可得，连接交于，连接，再由三角形相似证得，可得，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面.【解答】证明：（Ⅰ）过作于，，，，四边形为正方形，则，，得，又底面，平面，，又，平面，，平面，又平面，；（Ⅱ）设到平面的距离为，则，得.又，则.，，，连接交于，连接，，，得，，则.又平面，平面，平面.【总结归纳】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题.20.【思路分析】（Ⅰ）通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为.求出，，然后求解椭圆方程.（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为，利用，推出直线的斜率为，直线的斜率为，然后求解即可.【解答】解：（Ⅰ）已知椭圆中，且，又，可得椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意：可设的方程为（存在且）与椭圆联立消去可得，由直线与椭圆相切，可设切点为，由判别式可得.解得，因此，直线的斜率为，直线的斜率为，即直线与直线的斜率之积为.【总结归纳】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.21.【思路分析】（1）求出函数的导函数，根据导函数即可求出单调区间以及极值.（2）求出的导函数，使导函数有两个根，采用分离参数法，结合（1）中的值域即可求出参数的取值范围.【解析】：（1）由，则，令，则，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为；令，即，解得，所以函数的单调递减区间为；故函数的极小值为.综上所述，单调递增区间为；单调递减区间为；极小值为2；（2）由，则，若有两个极值点，则有两个根即有两解，即，即与有两个交点，由（1）可知在上单调递减；在上单调递增，所以.若与有两个交点，则.【总结归纳】本题主要考查导数在函数单调性中的应用以及由函数的极值点个数求参数的取值范围，考查了转化、化归思想，属于中档题.22.【思路分析】（1）根据，将曲线极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线的参数方程为普通方程；（2）先化直线的参数方程为标