洪梅中学C班黄毅龙说题

说题目的来源背景

泉州市2013年中考数学卷24题：

【问题】某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？说题目的立意

本题主要考查一元二次方程的应用，考查分析问题的能力、逻辑思维能力、识图能力、数形结合思想、方程思想、化归与转化思想。说解法分析此题是属于封闭路线中的相遇的行程问题，已知条件：，V乙=4cm/s，L半圆=21cm，同时出发，相向而行。可以借助图示直观地解决：

图一甲AB乙C图二甲AB乙（1）根据题目所给的函数解析式把t=4s代入求得L的值即可；（2）、（3）根据图可知，等量关系：第一次相遇：S甲+S乙=1个半圆，第二次相遇：S甲+S乙=1个半圆+1个圆周。

解：（1）当t=4s时，

答：甲运动4s后的路程是14cm；（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为，乙走过的路程为4t，则，解得：t=3或t=﹣14（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s；（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21=63cm，则，解得：t=7或t=﹣18（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s．【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题：①分析题意，找出题中已知量和未知量及等量关系；②设未知数，列方程；③解方程；④检验；⑤作答。2、解决封闭路线中的行程问题：①仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。②必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地），运动的结果（相遇几次）。变式拓展

变式一：（添加问题）甲、乙从开始运动到第27次相遇时，它们运动了多少时间？

可以借助图示直观地发现：

从第一相遇后，每增加1次相遇，路程和将增加一圆周即42cm，第n次相遇，把n=27代入得t=42或t=﹣53（不合题意，舍去），小结：

第n次相遇：S甲+S乙=1个半圆+（n-1)个圆周。强调：运用特殊与一般思想图二甲AB乙图一甲AB乙C图一甲AB乙图二甲AB乙变式二：（把“相向”变“同向”：乙点“逆时针”的方向改为“顺时针”的方向，即把“相遇问题”变为“追及问题”。）某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B均以顺时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.（1）甲、乙从开始运动到第一次追及时，它们运动了多少时间？（2）甲、乙从开始运动到第二次追及时，它们运动了多少时间？

变式拓展分析：此题是属于封闭路线中的追及的行程问题，已知条件：V乙=4cm/s，L半圆=21cm，同时出发且同向而行。但到底是谁追谁呢？因此必须进行分类讨论：(1)当甲追上乙时,借助图示直观地发现:等量关系第一次追及：S甲－S乙=1个半圆，第二次追及：S甲－S乙=1个半圆+1个圆周,拓展：第n次追及：S甲－S乙=1个半圆+（n-1)个圆周。(2)当乙追上甲时,借助图示直观地发现:等量关系第一次追及：S乙－S甲=1个半圆，第二次追及：S乙－S甲=1个半圆+1个圆周,拓展：第n次追及：S乙－S甲=1个半圆+（n-1)个圆周。解：当甲追上乙时,（1）解得或（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第一次追及时，它们运动了.(2)解得t=14或t=-9（不合题意，舍去），答：甲、乙从开始运动到第二次追及时，它们运动了14s；当乙追上甲时,

化简得，

此时，，因此原方程无解。

所以不可能是乙追及甲，不必再做第（2）题了。综上所述，（1）甲、乙从开始运动到第一次追及时，它们运动了；（2）甲、乙从开始运动到第二次追及时，它们运动了14s；

小结：第n次追及：S快－S慢=1个半圆+（n-1)个圆周。

强调：运用分类讨论思想和数形结合思想，物理中相对静止的知识。变式三：（把“异地”出发改为“同地”出发）即甲、乙两点分别从直径的端点A以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.其余不变，情况又如何呢？分析：只要找准等量关系，问题就迎刃而解。若是同时同地异向出发，则第n次相遇的等量关系：S甲+S乙=n个圆周附加说明：若是同时同地同向出发，则第n次追及的等量关系：S快－S慢=n个圆周

变式拓展说解后反思1、解决封闭路线中的行程问题：①仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。②必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地），运动的结果（相遇几次或追及几次）。