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文档简介
说题目的来源背景
泉州市2013年中考数学卷24题:
【问题】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系:乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?说题目的立意
本题主要考查一元二次方程的应用,考查分析问题的能力、逻辑思维能力、识图能力、数形结合思想、方程思想、化归与转化思想。说解法分析此题是属于封闭路线中的相遇的行程问题,已知条件:,V乙=4cm/s,L半圆=21cm,同时出发,相向而行。可以借助图示直观地解决:
图一甲AB乙C图二甲AB乙(1)根据题目所给的函数解析式把t=4s代入求得L的值即可;(2)、(3)根据图可知,等量关系:第一次相遇:S甲+S乙=1个半圆,第二次相遇:S甲+S乙=1个半圆+1个圆周。
解:(1)当t=4s时,
答:甲运动4s后的路程是14cm;(2)由图可知,甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm,甲走过的路程为,乙走过的路程为4t,则,解得:t=3或t=﹣14(不合题意,舍去),答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s;(3)由图可知,甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆:3×21=63cm,则,解得:t=7或t=﹣18(不合题意,舍去),答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题:①分析题意,找出题中已知量和未知量及等量关系;②设未知数,列方程;③解方程;④检验;⑤作答。2、解决封闭路线中的行程问题:①仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式,搞清路程、速度、时间三者之间的关系。②必须弄清物体运动的具体情况。如:运动的方向(相向、同向),出发的时间(同时、不同时),出发的地点(同地、不同地),运动的结果(相遇几次)。变式拓展
变式一:(添加问题)甲、乙从开始运动到第27次相遇时,它们运动了多少时间?
可以借助图示直观地发现:
从第一相遇后,每增加1次相遇,路程和将增加一圆周即42cm,第n次相遇,把n=27代入得t=42或t=﹣53(不合题意,舍去),小结:
第n次相遇:S甲+S乙=1个半圆+(n-1)个圆周。强调:运用特殊与一般思想图二甲AB乙图一甲AB乙C图一甲AB乙图二甲AB乙变式二:(把“相向”变“同向”:乙点“逆时针”的方向改为“顺时针”的方向,即把“相遇问题”变为“追及问题”。)某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A、B均以顺时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系:乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.(1)甲、乙从开始运动到第一次追及时,它们运动了多少时间?(2)甲、乙从开始运动到第二次追及时,它们运动了多少时间?
变式拓展分析:此题是属于封闭路线中的追及的行程问题,已知条件:V乙=4cm/s,L半圆=21cm,同时出发且同向而行。但到底是谁追谁呢?因此必须进行分类讨论:(1)当甲追上乙时,借助图示直观地发现:等量关系第一次追及:S甲-S乙=1个半圆,第二次追及:S甲-S乙=1个半圆+1个圆周,拓展:第n次追及:S甲-S乙=1个半圆+(n-1)个圆周。(2)当乙追上甲时,借助图示直观地发现:等量关系第一次追及:S乙-S甲=1个半圆,第二次追及:S乙-S甲=1个半圆+1个圆周,拓展:第n次追及:S乙-S甲=1个半圆+(n-1)个圆周。解:当甲追上乙时,(1)解得或(不合题意,舍去),答:甲、乙从开始运动到第一次追及时,它们运动了.(2)解得t=14或t=-9(不合题意,舍去),答:甲、乙从开始运动到第二次追及时,它们运动了14s;当乙追上甲时,
化简得,
此时,,因此原方程无解。
所以不可能是乙追及甲,不必再做第(2)题了。综上所述,(1)甲、乙从开始运动到第一次追及时,它们运动了;(2)甲、乙从开始运动到第二次追及时,它们运动了14s;
小结:第n次追及:S快-S慢=1个半圆+(n-1)个圆周。
强调:运用分类讨论思想和数形结合思想,物理中相对静止的知识。变式三:(把“异地”出发改为“同地”出发)即甲、乙两点分别从直径的端点A以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.其余不变,情况又如何呢?分析:只要找准等量关系,问题就迎刃而解。若是同时同地异向出发,则第n次相遇的等量关系:S甲+S乙=n个圆周附加说明:若是同时同地同向出发,则第n次追及的等量关系:S快-S慢=n个圆周
变式拓展说解后反思1、解决封闭路线中的行程问题:①仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式,搞清路程、速度、时间三者之间的关系。②必须弄清物体运动的具体情况。如:运动的方向(相向、同向),出发的时间(同时、不同时),出发的地点(同地、不同地),运动的结果(相遇几次或追及几次)。
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