2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(四)答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试•仿真模拟卷

数学(四)

注意事项：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写

在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知复数z=l-6i,则z2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数z2,再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】解：因为Z=l—6i，所以22=(1-后『=1一2后+(何2=一2一2"，

所以z2在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限.

故选：C

2.已知全集。={1|—6<x<2},集合A={Y炉+2%―3<0},则加A=()

A.(-6,2)B.(-3,2)

C.(-6,-3)u(l,2)D.(-6,-3]u[l,2)

【答案】D

【解析】

【分析】计算出集合B,由补集的定义即可得出答案.

【详解】因为4={x|%2+2%-3<0}={%卜3cx<1},

"=(-6,-3Ml,2).

故选：D.

3.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一

个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中良。分别是上、下底面圆的圆

心，且AC=3A8=6,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积是()

图1

80万

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.

【详解】已知底面圆的半径r=2,由AC=3AB=6,则A8=2,8C=4,

1VA

故该陀螺的体积V=BC-Jir1+-AB-7ir2=—7i.

33

故选：D.

4.已知一组数据：玉,工2，无3的平均数是4，方差是2,则由3士-1,3工2-1,3七-1和11这

四个数据组成的新数据组的方差是()

27

A.27B.—C.12D.11

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.

【详解】因为一组数据为，4，z的平均数是4,方差是2,

222

所以+X2+X,)=4,^[(XI-4)+(^-4)+(X3-4)]=2,

所以尤]+w+刍=12,(3—4)~+(无2—4>+(Xj—4)2=69

所以3玉一1,3々一1,3七一1,11的平均数为

；[11+(3毛一1)+(39-1)+(3F-1)]=；口1+3(演+七+w)_3]=11,

所以3西一1,3々一1,3七一1,11的方差为

+函-12)2+3-12)2+(3-12)2]

1,,,127

222

=-X9[(X1-4)+(X2-4)+(X3-4)]=-x9x6=y

故选：B

5.若非零向量4,6满足2，=忖=2,(〃—2。)_1环则向量.与b夹角的余弦值为()

3111

A.-B.-C.—D.一

4234

【答案】D

【解析】

【分析】求出"=1，W=2,根据("2b)_La可得(a—2b)-a=0,代入化简求解夹角余弦

值即可.

【详解】设。与。的夹角为。，

因为2,卜忖=2,"2b),a,所以忖=1,忖=2,

.'.[a-lb^-a-a2—2|«||/?|cos^=0.

ca21

cos3=-----r=—

2郦|

故选：D.

6.已知圆。：(x-2)2+(y-3)2=4,圆O2：x2+y2+2x+2y-7=0,则同时与圆。和

圆Q相切的直线有()

A.4条B.3条C.2条D.0条

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.

【详解】由圆a:(x—2)2+(》—3)2=4,则圆心«(2,3),半径4=2；

由圆。2：/+/+2彳+2y一7=0,整理可得(x+lp+(y+l)2=9,则圆心

a(-1-1),半径为=3；

由|。2|=](2+1)2+(3+1)2=5=4+/，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.

故选：B.

7.已知函数/(x)=Asin(3x+0)(A>O,69>O,()<0<»)的部分图象如图所示，则函数

/(x)在区间［0,10可上的零点个数为()

【解析】

【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求/(x)=0的根解不等式即可.

37兀2兀T

【详解】由题意知，—T=——(——)=3兀，解得：7=4兀，一=2〃，

4332

方法2：・，・/(x)=。，解得：x=-----卜2kn,keZ,

3

...()«----1*2析41()兀，kwZ,解得：一£k£—,kwZ,

333

AA:=1,2,3,4,5,.../(x)在区间［0,102上的零点个数共有5个.

故选：B.

九2丫？

8.已知椭圆C：r+、=l(a>b〉0)的左、右焦点分别为片，K，点P在椭圆。上，若离

ab~

P耳

心率e=%W，则椭圆C的离心率的取值范围为()

A、.^/0,v厂2—,1jB.L0,V21C.H—D.

I2JL2

【答案】D

【解析】

IPEI..2a

【分析】由题意可知e="j,结合椭圆的定义解得「工|=工六，再由

a-c<\PF2\<a+c^.^.

【详解】因为e=晶，所以w制=6归段，

NI

由椭圆的定义得：|「制+|P周=2匹解得归用=*

因为Wa+c,所以。一。<——<a+c,

e+1

2r-

两边同除以。得l-e4——<l+e,解得e>72-1.

e+I

因为0<e<l,所以夜

所以该离心率e的取值范围是［&-1,1）

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.若tan2a—彳=--------,则a的值可能为（）

I3J1+tana

7177119兀571

A.—B.—C.——D.-----

36363636

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意可得：tan（2a-工）=上网竺=tan（工-a）,然后利用正切函数的性质

31+tana4

即可求解.

।.tLan-------taiiix

【详解】因为——吧2=-----------------=tan(--a),则tan(2a--)=tan(--a),

"a1+tan土tana434

4

所以2a—=kjtH-----a,ZeZ,解得：u=-----1----，&eZ,

34336

当％=0时，a=—；当％=1时，a=—；当左=一1时，a=二；

363636

故选：BCD.

10.某校10月份举行校运动会，甲、乙、丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参

加，每人选择各项目的概率均为且每人选择相互独立，则()

3

A.三人都选择长跑的概率为」-

27

2

B.三人都不选择长跑的概率为：

_4

C.至少有两人选择跳绳的概率为一

27

D.在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为』

7

【答案】AD

【解析】

【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.

【详解】由已知

三人选择长跑概率为Lx1xL=-L,故A正确.

33327

2228

三人都不选择长跑的概率为一X-X—=一，故B错误.

33327

1111127

至少有两人选择跳绳的概率为一x-x-+C；-x-x—=一，故C错误.

333-33327

11|1127

记至少有两人选择跳远为事件A,所以P(A)=—x—x—+C：—x—*—=.

'/33333327

记丙同学选择跳远为事件B,所以+

所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为

P(B|A)=p(B)=］，故D正确，

故选：AD

11.设函数4x)=(x+l)ln(x+l)(x>0),若〃x)>(Z—l)x—l恒成立，则满足条件

的正整数人可以是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意可得g(x)=(x+l)ln(x+l)-("l)x+l>0,利用导数结合分类讨论解

决恒成立问题.

【详解】若/(6>仕一1卜一1恒成立，则

/(X)-(左―1)^+1=(》+1)111(%+1)-(％-1)%+1>0恒成立，

构建g(x)=(x+l)ln(x+l)—(Z—l)x+l,贝||g'(x)=ln(x+l)+2—Z,

,/x>0,故ln(x+l)>0,则有：

当2—Z20,即心2时，则g'(x)>0当x>0时恒成立，

故g(x)在(0,+。)上单调递增，则g(x)>g(O)=l>O,

即攵《2符合题意，故满足条件的正整数々为1或2；

当2—攵<0,即。>2时,令g'(x)>0,则joe*.—1,

故g(x)在上单调递减,在(j2一1,一)上单调递增,则

g(x)2g(ei-1)=左-尸>0,

构建G(Z)=k-ek-2,则G")=1-e"2<0当左>2时恒成立,

故G(x)在(2,内)上单调递减，则G(左)<G⑵=1>0,

;G(3)=3-e>0,G(4)=4-e2<0,

故满足G㈤>0(&>2)的整数左=3；

综上所述：符合条件的整数女为1或2或3,A、B、C正确，D错误.

故选：ABC

12.已知三棱锥尸一ABC中，PAJ_平面

43cp4=4,/BAC=」,AB=4C=2石,M是边8C上一动点，则()

3

A.点C到平面R48的距离为2

B.直线与PC所成角的余弦值为巨

14

C.若M是8c中点，则平面平面P8C

D.直线PM与平面ABC所成的最大角的正切值为述

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得

答案；

对于B,建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；

对于C,利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；

对于D,利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.

【详解】对于A,在平面A8C内，过。作如下图所示：

平面A8C,且CDu平面ABC,.•.Q4LCD,

CDLAB,PA\AB^A,平面RW，\C0A平面E48,

则。到平面MB的距离为|C£)|,Z5AC=—,AB=AC=2。："ABC=%,

36

在Rt_3CD中，

CO=C8•sinZCBA=ylAB2+AC2-2-AB-AC-cosABAC-sinZCBA=3，故A错

误；

对于B,在平面ABC内，过A作A£_LA6,且EuBC,易知AB,4E,AP两两垂直,

如图建立空间直角坐标系：

则A(0,0,0),网2后0⑼,6,3,0),尸(0,0,4),

得AB=(2"0,0),PC=(-y/3,3,^1),

AB•PC=塔=-6,网=26,|p=，3+9+16=2近,

1,\AB-PC\后

贝!_r-j~~-]=——,故B正确；

'/|AB-|PC|14

对于C,作图如下：

P

X\/

B

在一ABC中，AB=AC,〃为8C的中点，贝I」AW_LBC,

平面ABC，3。匚平面43。，；.%_18。，

AMPA^A,411,24<=平面4^,二30_1_平面对叱，

BCu平面尸8C,••・平面P3CJ■平面AMP,故C正确，

对于D,作图如下：

:

B

P4J_平面A8C,41/<=平面4?。，..上4_14/,

PA

则在RtR4M中，tanZAMP=——，当A〃取得最小值时，tanNAMP取得最大

AM

值，

当A/为8c的中点时，由C可知，AM±BC,AM取得最小值为AB•sin•—=

6

则tanNAMP取得最大值为空，故D正确.

3

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

k-V

13.函数〃刈=柒、（尢£均为奇函数，则实数上的取值为.

【答案】1

【解析】

【分析】由奇函数的定义求解即可.

【详解】函数=W^铲(xeR)为奇函数，必有A>0,

k-3^x1_攵？'一kixx-k

则〃-x)=-/W=-

1+k・3-”一3x+k\+k-3xl+h3”

于是得32'-r=/？2工一恒成立，即％2=i，

解得：k=l.

故答案为：1.

14.已知抛物线的焦点为尸，抛物线上一点尸，若归耳=5,则AP。尸的面积为

【答案】276

【解析】

【分析】先根据抛物线定义得P点坐标，再根据三角形面积公式求解.

【详解】因为|尸耳=5,所以七,+2=5「.4=3,%2=24,|力|=2#，

因此APOF的面积为~\yP\\OF\=|X2A/6X2=2瓜

【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.

15.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有

__________个.

【答案】78

【解析】

【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0,分成末位数字是5和末位数字是0两种情

况讨论.

【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0

当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步

乘法原理一共有6x6=36种方法；

当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法

原理一共有7x6=42种方法；

则一共有36+42=78种

故答案为：78

r\

16.已知a〉0,函数g(x)=x+——^一2在［3,+oo)上的最小值为2,则实数。=

【答案】1

【解析】

【分析】利用导数分类为与JG>3讨论，得出g(x)在［3,+8)上的最小

值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.

【详解】；g(x)=x+^^-2,

(2+a)(x->/2+a)(x+j2+a)

2+Qx

:.g'(x)=l-

XX

当万工K3时，即0<。47时，

贝ijg'(x)>0在(3,4w)上恒成立，则g(x)在［3,例)上单调递增，

g(x)在［3,4w)上的最小值为g⑶=等=2,解得a=1,

当12+a>3时,即。>7时，

当12+a)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x€(j2+a,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

g(X)在［3,+。。)上的最小值为g(j2+a)=42+a+--2=2,a=2,舍去，

综上所述：a-\,

故答案为：1.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了

国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪

人数》(单位：百人)的数据.

天数代码X12345

滑雪人数y(百人)911142620

经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立》关于x的

回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.

参考公式：线性回归方程$=晟+』的斜率和截距的最小二乘法估计分别为

b=--------------------,a=y-bx.

i=l

【答案】5=3.7x+4.9；9.

【解析】

【分析】根据表中数据及平均数公式求出扇白，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪

人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.

-1+2+3+4+5、-9+11+14+26+20

【详解】由题意可知,x=------------------=3,y=------------------------

所以£包一可(>,一方=(1-3)X(9-16)+(2—3)X(11-16)+(3-3)X(14-16)

,=|

+(4-3)x(26-16)+(5-3)x(20-16)

=(-2)x(-7)+(-1)x(-5)+0x(-2)+1x1()+2x4=14+5+0+10+8=37

£(七一元)2=(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5—3)2=4+1+0+1+4=10,

/=1

£(x,一可(丫一田37

所以b=『-------------=二=3.7,

_\210

2(%-%)

1=1

&=9一宸=16-3.7x3=4.9,

所以V关于x的回归方程为夕=3.7x+4.9.

因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7x+4.9>35,解得

30.1…

x>-----«8.14,

3.7

所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.

18.如图，四边形ABCD中，/3=150,/。=60,48=26,4。=豆比243。的

3

面积为26.

D

C

AR

（1）求AC；

（2）求NACO.

【答案】（1）2拒

兀

(2)-

4

【解析】

【分析】（1）在中，利用面积公式、余弦定理运算求解；

（2）在ACD中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.

小问I详解】

在ABC中，由ABC的面积S=！A8x5CxsinN8=,x2j5xBCxL=2>5,可得

222

BC=4,

由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcosZB=12+16-2x2^3x4xf--）=52,即

AC=2而.

【小问2详解】

ACA。

在，AC。中，由正弦定理,可得

sinZDsinZACD

x/3

__2VA/7_8____

ADsinZD_23也,

sinZACD=

AC—2V13~T

71

VAD<AC,则ZACD<NO=60°,故ZACD=—.

4

19.设数列｛4｝的前〃项和为Sn,S,,=+2〃-6(“eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2n+l127

(2)若数列------的前优项和北==，求加的值.

.”“41+1,258

【答案】（Da„=2"

（2）7

【解析】

【分析】（1）当〃22时，构造Si=2a,i+2〃—8,与条件中的式子，两式相减，得

an=2。,一-2,转化为构造等比数列求通项公式；

2”+i2”+i

（2）由（1）可知2=六一=（2"+2乂2"7+2）’利用裂项相消求和法求解.

【小问1详解】

因为S“=24+2〃-6,所以当〃=1时，百=2%-4,解得4=4.

当2时，S“_|=2%_]+2〃-8,则=2。“一2%+2,

整理得a,=2%-2,即4-2=2（%-2）.

所以数列｛%-2｝是首项为2，公比为2的等比数列,

所以a“-2=2x2"T=2".所以%=2"+2.

【小问2详解】

_2'田_2'用_/]1]

令”一4。用一（2"+2）（2向+2）一12"+22,,+l+2j'

数列间的前机项和工"=2&J+W+W+++一矛七｝

=2仕-一

（42/z,+1+2j22〃向+2，

12_1272_2

则二FTT演’则尹7T通’

则2"用=256=>机=7.

m的值为7.

20.如图，正方体ABC。一4耳GR的棱长为%点E、P分别是的中点.

（1）求证：BP±平面AEG；

（2）求直线BC与平面AEG所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

6

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明EC「BP=O，EA^BP=O,即

可得证；

（2）利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

证明：如图建立空间直角坐标系，则上（0,0,2）,8（4,4,0）,耳（4,4,4）,尸（2,2,4）,

G（0,4,4）,A（4,0,4）,C（0,4,0）,

所以EG=（°，4,2）,E4t=（4,0,2）,BP=（-2,-2,4）,

所以EG-8P=0,E4,3P=（）,

所以EC】上BP,EA]±BP,又EC】EA,=£,EG,Mu平面4EG,

所以BP,平面

【小问2详解】

解：由（1）可知8P=（—2,—2,4）可以为平面AEG的法向量,

又4c=（yo,T）,

设直线gc与平面AEG所成角为。，则

\B.C-BP\卜2X(-4)+0X(-2)+4X(-4)L下)

sin0-y----——-

n472x276—6

故直线BC与平面A,EC,所成角的正弦值为走.

6

22

21.已知双曲线C:5-4=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为x—2），=0,一个焦点到该

a'b

渐近线的距离为1.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若双曲线C右顶点为A,直线/：y=丘+加与双曲线C相交于M,N两点（M,N

不是左右顶点），且AA/.AN=O.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

2

【答案】（1）--/=1

4-

（2）证明过程见解析，定点坐标为（日,。］

【解析】

【分析】（1）由渐近线方程求出2=:，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c=6,从

a2

而求出。=2,。=1,得到双曲线方程；

（2）/:y=kx+m与——/二1联立，求出两根之和，两根之积，由AA/.AN=O列出

4

方程，求出m=-5左或加=-2攵，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为

【小问1详解】

因为渐近线方程为x-2y=0,所以2=工，

a2

Id

焦点坐标（c,0）到渐近线x-2y=0的距离为解得：c=5

VI+4

因为/+6=/=5,解得：a=2,b=l,

2

所以双曲线。的方程为土一产=1；

4

【小问2详解】

由题意得:A（2,0）,

/:y=区+〃z与工—y2=i联立得：（I-4A：2）X2-Skiwc-Am2-4=0,

设M（x,,X）,N（/,%），则%+々=7ZVTT，玉々=一：：丁,

1—QK1-^TK

2

y}y2=（Ax,4-m）（Ax2+m）=+hn^xx+x2）+m,

AM-AN=（玉一2,y）•（/—2,y2）=XjX2—2（玉+X2）+4+凹％

2

（1+攵2）中2+（版-2）（玉+x2）+m+4=（1+攵2）・T"~j+（k%―2）・8km2+/+4=0