北师大版七把年级下册数学各章知识点总结

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结

第一章整式的运算

r单项式

不整式'

多项式

r同底数嘉的乘法

基的乘方

整

积的乘方

式某运算同底数基的除法

的零指数累

〔负指数幕

运

（整式的加减

算单项式与单项式相乘

单项式与多项式相乘

整式的乘法多项式与多项式相乘

.整式运算'

平方差公式

完全平方公式

单项式除以单项式

'整式的除法」

多项式除以单项式

一、单项式、单项式的次数：

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。一

个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式

1、多项式、多项式的次数、项

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母

的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：

整式加减法的一般步骤：

（1）去括号：（2）合并同类项。

五、幕的运算性质：

I、同底数暴的乘法：am■a"二a"1"（m,n都是正整数）；

2、鼎的乘方：（a"）r'（m,n都是正整数）；

3、积的乘方：（ab）n=a"b"（n都是正整数）；

4、同底数基的除法：am4-an=a"F（m,n都是正整数,aWO）；

1

六、零指数塞和负整数指数塞：

1、零指数哥：a°=l(a#0);

2、负整数指数塞：。-，=十("。0股是正整数。

七、整式的乘除法：

1、单项式乘以单项式：

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、P是正整数相同字母的幕分别相乘，其余

的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：

法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得

的积相加。

3、多项式乘以多项式：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的

积相加。

4、单项式除以单项式：

单项式相除，把系数、同底数塞分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的

字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5、多项式除以单项式：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：

1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

2、完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2—2ab+b',

第二章平行线与相交线

-余角

，余角补角-

I补角

(■角<两线相交一►对顶角

r同位角

平I三线八角内错角

行

线-同旁内角

与

相

交c平行线的判定

线平行线■

〔平行线的性质

1尺规作图

2

一、余角和补角：

1＞余角：

定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

性质：同角或等角的余角相等。

2、补角：

定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

性质：同角或等角的补角相等。

二、对顶角：

我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个

角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

三、同位角、内错角、同旁内角：

直线AB,CD与EF相交（或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截）,构成八个

角。其中N1与/5这两个角分别在AB,CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的

一对角叫做同位角；N3与/5这两个角都在AB,CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置

的两个角叫做内错角；N3与/6在直线AB,CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两

个角叫做同旁内角。

四、平行线的判定：

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

简称：同位角相等，两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

简称：内错角相等，两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行.

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

五、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

六、尺规作图：

3

1、作一条线段等于己知线段。

2、作一个角等于已知角。

第三章生活中的数据

一、科学记数法：

一般地，一个绝对值较小的数可以表示成axlO"的形式，其中l4|a|<10,n是负整数。

二、近似数和有效数字：

1、近似数：

利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一

位。

2、有效数字：

对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫

做这个近似数的有效数字。

三、形象统计图：

第四章概率

r必然事件

r事件■不可能事件

〔不确定事件

概率〈等可能性-----►游戏的公平性

r概率的定义

I概率］几何概率

〔设计概率模型

一、事件发生的可能性；

人们通常用1（或100）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的

可能性。

二、游戏是否公平：

游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

三、摸到红球的概率：

1、概率的意义

P（摸到红球）=摸到红球可能出现的结果数/摸出一球可能出现的结果数

2、确定事件和不确定事件的概率：

（1）必然事件发生的概率为1记作P（必然事件）=1:

（2）不可能事件发生的概率为0,P（不可能事件）=0；

（3）如果A为不确定事件,那么O<P（A）<1。

3、概率的求法：

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m/n。

4

第五章三角形

C三角形三边关系

,三角形I三角形内角和定理

Ir角平分线

〔三条重要线段，中线

L高线

全等图形的概念

全等三角形的性质

rSSS

三角形（SAS

|全等三角形《全等三角形的判定＜ASA

AAS

IHL（适用于RtA）

全等三角形的应用——A利用全等三角形测距离

.作三角形

一、三角形及其有关概念

1、三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线

段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角

形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：

三角形用符号表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形

ABC”。

3、三角形的三边关系：

（1）三角形的两边之和大于第三边。

（2）三角形的两边之差小于第三边。

（3）作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：

（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

5

6、三角形的分类：

⑴三角形按边分类：

「不等边三角形

三角形T「底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形Y

L等边三角形

(2)三角形按角分类：

「直角三角形(有一个角为直角的三角形)

三角形《「锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)

I斜三角形Y

J钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边

相等的直角三角形。

7、角形的三种重要线段：

(1)三角形的角平分线：

定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线

段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

(2)三角形的中线：

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

(3)三角形的高线：

定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角

形的高线(简称三角形的高)。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部;

直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在

它的外部；

区另IJ相同

中线平分对边三条中线交于三角形内部

角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部(1)都是线段

(2)都从顶点画出

垂直于对锐角三角形：三条高线都在三角形内部

(3)所在直线相交于一

高线边(或其

直角三角形：其中两条恰好是直角边点

延长线)

钝角三角形：其中两条在三角表外部

8、三角形的面积：

三角形的面积='x底X高

2

二、全等图形：

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。

三、全等三角形

6

1、全等三角形及有关概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做

对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的表示：

全等用符号“会”表示，读作“全等于"。如AABC@ADEF,读作“三角形ABC全等

于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

4、三角形全等的判定：

（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或

“ASA”）

（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”

或“AAS”）

（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或

“SAS”）

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边

和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

第六章变量之间的关系

「自变量

（变量的概念Y

L因变量

变量之间的关系1r表格法

I关系式法

爆量的表达方法I（速度时间图象

〔图象法■

I路程时间图象

1、变量、自变量、因变量：

（1）在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

（2）如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

（3）自变量与因变量的确定：

①自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

②自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

③利用具体情境来体会两者的依存关系。

2、函数的三种表示法：

（1）关系式法

7

(2)列表法

(3)图像法

三种变量之间关系的表达方法与特点:

表达方法特点

表格法多个变量可以同时出现在同一张表格中

关系式法准确地反映了因变量与自变量的数值关系

图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

第七章生活中的轴对称

一轴对称图形

(轴对称分类Y

L轴对称

r角平分线

轴对称实例J线段的垂直平分线

|等腰三角形

)I等边三角形

生活中的轴对称\

「轴对称的性质

轴对称的性质Y

-镜面对称的性质

「图案设计

I轴对称的应用Y

l镶边与剪纸

一、轴对称

1、轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴

对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称：

对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴

对称，这条直线就是对称轴。

3、性质：

(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

(2)对应线段相等，对应角相等。

二、角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三、线段的垂直平分线(简称中垂线)：

定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

8

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

四、等腰三角形

1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），

（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的

高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3、等腰三角形的判定：

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等

五、等边三角形：

1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：

（1）具有等腰三角形的所有性质。

（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

3、等边三角形的判定

（1）三边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

北师大版数学八年级下册知识点汇总

第一章三角形的证明

一、全等三角形判定、性质：

1.判定（SSS）（SAS）（ASA）（AAS）（HL直角三角形）

2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；（定义）

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

9

三、等腰三角形的判定

1.有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等

边”。）

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已

有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证

明方法称为反证法

四、直角三角形

1、直角三角形的性质

直角三角形的两锐角互余

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边

的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角

形；

3、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命

题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个

定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

五、线段的垂直平分线、角平分线

1、线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

10

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相

等。（外心）

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内

心）

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线

上。

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

L定义：一般地，用符号（或“4”），“>”（或，"）连接的式子叫做不等

式。

2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的

方向不变.如果a>b,那么a+c〉b+c,a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等

号不变）

性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如

果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.

性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.如

果a>b,并且c<0,那么ac<bc,<span=""X/bc,<>

说明：比较大小：作差法

a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=Oa<b</b<=

==>a-b<0

3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

11

4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的

解集。

5.解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。边界：有等号的是实心圆

点，无等号的是空心圆圈

6.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并

且未知数的最高次数是1,像这样的不等式，叫做一元一次不等式

7.解不等式的步骤：1、去分母；2、去括号；3、移项、合并同

类项；4、系数化为

1O

8.列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：

（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）（根据不等量）

关系式列不等式（组）（4）解不等式组；（5）检验（6）作答。

9一元一次不等式与一次函数教材第50页

10.一元一次不等式组

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一

次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，焦作这

个一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式解集图示叙述语言表达

x>b大大取大

x>a小小取小

a<x<b<span=〃"X/x<b<>大小小大中间找

大大小小解不了

无解

（是空集）

第三章图形的平移与旋转

12

一、图形的平移

1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的

图形运动称为平移。

关键：a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改

变图形的位置）。b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距

禺°

2平移的规律（性质）：经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）

且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简单的平移作图：

平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每

一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

二、图形的旋转

1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，

这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转

角。

关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变

图形的位置）。

b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2旋转的规律（性质）：

一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任

意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，

对应角相等。注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

3简单的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转

方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称

13

1.概念：中心对称、对称中心、对称点

把一个图形绕着某一点旋转180。，它能够与另一个图形重合，那么就说这

两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。

2.中心对称的基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称

中心平分。

3.中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心

把一个平面图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形

重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称

图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分

成两个图形，那么这两个图形成中心对称。5、图形的平移、轴对称（折

叠）、中心对称（旋转）的对比

6、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它

的关系，即由它作何种运动变换而形成。②图案设计的基本手段主要有:

轴对称、平移、旋转三种方法。

第四章因式分解

一、公式：

1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做

因式分解，因式分解也可称为分解因式。

2.公因式：把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公

因式.

14

3.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因

式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法

叫做提公因式法

4.找公因式的一般步骤：(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

(2)取相同的字母，字母的指数取较低的；

(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积

即为公因式.

5.公式法：

(1)ma+mb+mc=m(a+b+c)(2)a2b2=(a+b)(a-b)(3)a2±2ab+b2=

(a±b)2

6.、分解因式的一般步骤为：

(1)若有先提取“」，若多项式各项有公因式，则再提取公因式.

(2)若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全

平方公式.

(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

7、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

(1)把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

(2)把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

补充：十字相乘法

第五章分式与分式方程

L分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫

做分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，

坟墓都不能为零。

2.注意事项

(1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分

子可含字母可不含字母。

(2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。

15

（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

3.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的

整式，分式的值不变。

用式子表示

注意：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值

的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意CWO,以及隐含的BWO。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分

子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的

错误。

4.分式的乘除：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的

积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除

式相乘.即:,

5.分式乘方：把分子、分母分别乘方.即：

逆向运用，当n为整数时，仍然有成立.

6.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

7.分式的通分和约分：关键先是分解因式

（1）分式的约分：利