2021年中考数学 分类训练：正方形及四边形综合问题

2021中考数学分类训练：正方形及四边形综合

问题

一、选择题

i.下列说法，正确的个数有（）

①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线

相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了

（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

3.如图，在四边形A8CO中，AB=CD,AC,8。是对角线，E,F,G,”分别

是A。，BD,BC,AC的中点，连接ERFG,GH,HE,则四边形EFG〃的形

状是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

4.如图，四边形ABC。是边长为5的正方形，E是。。上一点，DE=1,WAADE

绕着点A顺时针旋转到与△AB尸重合，则七月=（）

Az国

C.5aD.2V13

5.如图，正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的

点E处，折痕为GH,若BE：EC=2：1,则线段CH的长是（）

A.3B.4C.5D.6

6.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,

再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2,

则FM的长为（）

A.2B.^3C.A/2D.1

7.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3—1—10所示的正方形（用阴影表

不），点Bi在y轴上，点。、Ei、及、。2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形AiBiGDi

的边长为1,N3G。=60。，B1C1//B2C2//B3C3,则点小到x轴的距离是（）

小+3小+1

18U-18

r2/2+3\/3+1

。6U-6

8.（2020.东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B

重合），对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：①4APE丝AAME；

②PM+PN=AC；®PE2+PF2=PO2；④△POFS/SBNF；⑤点0在M、N两点

的连线上.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

DC

二、填空题

9.将边长为1的正方形A.BCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置

（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H,则HD=.（结

果保留根号）

10.如图，四边形ACDR是正方形，NCEA和/都是直角且E,A,B三点、

共线，AB=4,则阴影部分的面积是.

11.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则N3EC的度数

是.

12.QABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC±BD,请添加一个条件:

,使得口ABCD为正方形.

13.如图，正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若ND=60。，BC=2,则点D的坐标是,

14.如图，正方形ABCD的边长为2吸，对角线AC,BD相交于点O,E是OC

的中点，连接BE,过点A作AMLBE于点M,交BD于点F,则FM的长为

15.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4版的

正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形

EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型（其中点Q,/?分别与图②中的点E,G

重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.

16.如图，有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在

边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B,D在正六边形内部（包

括边界），则正方形边长。的取值范围是.

三、解答题

17.如图，在正方形ABC。中，点E是的中点，连接OE,过点A作

交。E于点R交C。于点G

(1)求证/ADG^/\DCE;

(2)连接求证:

18.已知正方形ABCD中，BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF

=BE,连接AE、AF,过点A作AHLED于H点.

⑴求证：△ADF^AABE；

⑵若BE=1,求tonZAED的值.

19.如图，正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上，且DE=CF,AF与BE

相交于点G.

(1)求证：BE=AF；

(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.

20.如图，正方形A3CO的对角线交于点。，点E,尸分别在AB,BC±.(AE<BE),

且NEO/=90。，OE,D4的延长线交于点M,OF,A8的延长线交于点N,连接

MN.

(1)求证:0加=。?/;

(2)若正方形A3CD的边长为4,E为OM的中点，求MN的长.

M

21.(2020•河南)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，，记旋转角为a.

连接BB，，过点D作DE垂直于直线BB，，垂足为点E,连接DB，，CE.

(1)如图1,当a=60。时，ADEB，的形状为,连接BD,可求出篝的值

为;

(2)当0。＜。V360。且。羊90。时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请

仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出言的值.

22.已知正方形A8CO中，点E在上，连接AE,过点8作BF_LAE于点G,

交CD于点F.

(1)如图①，连接AF,若AB=4,BE=\,求证：△BC&AABE；

(2)如图②，连接8D,交AE于点N,连接AC,分别交BD、BF于点0、M,连

接G。，求证：GO平分NAGK

(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG,若CG_LG。，AG=nCG,求〃的值.

图①图②图③

23.已知，在RMA3C中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是AB的中点，动

点E从点。出发，在边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,

直线3G,FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②).

(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为；

(2)设OE=x,NB=y,求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图②，当OE的长度为小时，求NBM的度数.

图①图②

2021中考数学分类训练：正方形及四边形综合

问题-答案

一、选择题

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C［解析］•.•点E,F,G,”分别是四边形ABCO中A。，BD,BC,

....11

G4的中点，：,EF=GH=^AB,EH=FG=^CD,,:AB=CD,:.EF=FG=GH=EH,

四边形EFGH是菱形，故选C

4.【答案】D［解析］由旋转的性质可知，

△ADE公AABF,

：.BF=DE=\,：.FC=6,VCE=4,AEF=A/FC2+CE2=V52=2\(13.

5.【答案】B【解析】设C”=x,'：BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3,由折

叠可知，EH=DH=9—x,在中，由勾股定理得：(9-%)2=32+^,解

得：x=4.

6.【答案】B【解析】'：AB=2,：.BF=2,又•.♦BM=g8C=1,由勾股定理得

FM^FEp-BM1=小.

7.【答案】6，0)D解析：过小正方形的一个顶点£>3作RQJ-X轴于点Q,过点

小作A?,F±FQ于点F.

•.•正方形ABC1D1的边长为1,ZBiCiO=60°,B1C1//B2C2//B3C3,

.♦.NB3c36=60°,ZDiCiEi=30°,ZE2B2C2=30°,

D\E\=^DiCi=^,'.D\E\=BIE2=^,

.,.cos30o=AM=瓦五’解得：B2c2=当\

B3E4

,cos30°=

解得：53c3=；.

则D3C3=1.

根据题意得出：

ND3c3。=30°,/。3。3。=60°,ZA3D3F=3O°,

.c八111

••。30=疗群

F£>3=D3A3・COS30°=JX^=坐.

j2o

则点A3到X轴的距离

FQ=D,Q+FD3=l+^L=^：1.

8［答案］B

【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、

等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，

灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，

全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和

性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论.

①,正方形ABC。，ZAPE=ZAME=45°,\'PM±AE,：.ZAEP=ZAEM=90°,

"：AE=AE,：.^APE^^AME(ASA)；

②过点N作NQ_LAC于点Q,则四边形PNQE是矩形，，PN=EQ,..•正方形ABC。，

：.ZR\E=ZMAE=45°,'：PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZR\E=ZAPE,PE=NQ,

.•.△APE等腰直角三角形，，AE=PE,同理得：△NQC等腰直角三角形，

NQ=CQ,V^XAPE^AAME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,即PM+PN=AC成立;

③•.•正方形ABC。，...NEOF是直角，•.•过点P分别作AC、B。的

垂线，分别交AC、BD于点E、E,...NPE。和NPFO是直角，...四边形PR9E

是矩形，：.PF=OE,在RfZ\PE。中，有PP+OU=P()2,：.PE2+PF2^PO2,即

P/+PF2=PO2成立;

④ABN/是等腰直角三角形，点P不在45的中点时，△POF不是等腰直角三

角形，所以△POE与△3NE不一定相似，即△POFs^BNE不一定成立；

⑤•.'△AMP是等腰直角三角形，△PMNs/\AMP,.•.△PMN是等腰直角三角形,

■:NMPN=90°,：.PM=PN,\"AP=—PM,BP=—PN,：.AP=BP,.•.点P是

22

A8的中点，又;。为正方形的对称中点，，点0在M、N两点的连线上.综上,

①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B.

二、填空题

9.【答案】［解析•四边形ABCO为正方形，

：.CD=\,ZCDA=9Q°,

•.•边长为1的正方形ABQ9绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，

使得点。落在对角线CE上，

:.CF域,NCEE=45。，；.△为等腰直角三角形，/三

故答案为0-L

10.【答案】8［解析］•.•四边形ACDF是正方形，

：.AC=AF,NC4F=90°,ZCAE+ZBAF=90°,

又NCAE+/ECA=90。，

NECA=NBAF,则在△ACE和^FAB中，

ZAEC=NABF=90°,

..NECA=NBAF,

•IAC=AF,

，△ACEdEAB(AAS),：.AB=CE=4,

.•.阴影部分的面积=%8CE=；X4X4=8.

11.【答案】30。或150。［解析］如图①，•••△AOE是等边三角形，

ADE=DA,NDEA=N1=6O。.

•.•四边形ABC。是正方形，

：.DC=DA,Z2=90°.

：.ZCDE=15Q°,DE=DC,

AZ34(180°-150°)=15°.

同理可求得N4=15。.

ZBEC=30°.

如图②，•••△AOE是等边三角形,

：.DE=DA,Zl=Z2=60°,

•.•四边形ABC。是正方形,

：.DC=DA,NCD4=90°.

：.DE=DC,Z3=3O°,

.,.Z4=1(180°-30O)=75°.

同理可求得N5=75。.

ZBEC=360°—Z2—Z4—Z5=150°.

故答案为30。或150°.

12.【答案】4AO=90。（答案不唯一）【解析】V°ABCD的对角线AC与BD

相交于点O,且AC_LBD,...DABCD是菱形，当NBAD=90。时，菱形ABCD

为正方形.故可添加条件：ZBAD=90°.

13.【答案】（小+2,I）【解析】如解图，过点D作DGJ_BC于G,DF_Lx轴

于F,•..在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,...△BCD是等边三角形,

.,.DF=CG=1BC=1,CF=DG=A/3,：.OF=y[3+2,，D（小+2,1）.

14.【答案】学【解析】•.•四边形ABCD为正方形，.•.AO=BO,ZAOF=ZBOE

=90°,VAM±BE,ZAFO=ZBFM,/.ZFAO=ZEBO,在△AFO和△BEO

fZAOF=ZBOE

中，＜AO=BO,...△AFO之△BEO(ASA),.•.FO=EO,•正方形ABCD

IZFAO=ZEBO

的边长为26，E是OC的中点，/.FO=EO=1=BF,B0=2,二在放aBOE

中，BE=y]\2+22=A/5,由ZFBM=ZEBO,ZFMB=ZEOB,可得

FMBFFM1,.*.FM=^.

ABFM^ABEO,.方而,即丁

15.【答案】4君［解析］如图，连接EG,作GMLEN交EN的延长线于M.

在RtZ^EMG中，\"GM=4,EM=2+2+4+4=12,

/.EG=7EM2+GM2=7122+42=4\^10,

EGf-

，EH=~^=4\p.

16.【答案】宓区3—S【解析】:ABCD是正方形，，AB=a=坐AC,

的取值范围与AC的长度直接相关.如解图①，当A,C两点恰好是正六边形一

组对边中点时，a的值最小，•••正六边形的边长为1,.•.AC=，5,，AB=a=苧

AC=*；如解图②，连接MN,延长AE,BF交于点G,二•正六边形和正方形

ABCD,.•.△MNG、△ABG^△EFG为正三角形，设AE=BF=x,则AM=BN

=1—x,AG=BG=AB=l+x=a,VGM=MN=2,ZBNM=60°,

BCa

22

/.sinZBNM=sin6Q°=^3(1—x)=a,.•.小(2—a)=a,解得，a

=范£=3一小•，正方形边长。的取值范围是坐ME3f.

图①图②

三、解答题

17.【答案】

证明:(1)；四边形ABCD是正方形，

/.ZAr)G=ZC=90°,AD=DC,

又•.,AGLOE,AZDAG+ZADF=9Q°=ZCDE+ZADF,：.ZDAG=ZCDE,

△AOG丝△0CE(ASA).

(2)如图，延长OE交AB的延长线于H,

；E是的中点，,BE=CE.

又NONHBE=9Q°,ZDEC=ZHEB,△DCE丝△HBE(ASA),

BH=DC=AB,即8是A”的中点.

又,:ZAFH=9Q°,

ARtAAFH^',BF=/H=AB.

18.【答案】

(1)证明：在AADF和AABE中，

fAB=AD

<ZABE=ZADF=90°,

IEB=FD

△ADF四△ABE(SAS).(3分)

(2)解：VAB=3,BE=1,

.*.AE=V10,EC=4,

/.ED=^/CD2+EC2=5,(4分)

设AH=x,EH=y,

在H〃\AHE和R〃\AHD中，

x2+y2=10

,x2+(5—y)2=9，

解得，x=1.8,y=2.6,(6分)

•+._AH_x_L8_^_0八、

..tan/AAnETD—EH一y-26一]3,^分)

19.【答案】

(I)二•四边形ABCD是正方形，

AZBAE=ZADF=90°,AB=AD=CD,

VDE=CF,；.AE=DF,

AB=AD

在4BAE和AADF中，＜NBAE=ZADF,

AE=DF

/.△BAE^AADF(SAS),

，BE=AF；

(2)解：由(1)得：ABAE^AADF,

，NEBA=NFAD,

.•.ZGAE+ZAEG=90°,

AZAGE=90°,

VAB=4,DE=1,

，AE=3,

BE=VAB2+AE2=J42+32=5，

在Rt^ABE中，-ABXAE=-BEXAG,

22

20.【答案】

解:⑴证明:正方形ABC。中，AC=BD,OA=^AC,OB=OD=；BD,：.OA=OB=OD,

\'AC±BD,：.ZAOB=ZAOD=90°,

：.ZOAD=ZOBA=45°,：./OAM=/OBN,

又•：NEOF=9。。,：.ZAOM=ZBON,

：.△AOM咨ABON,：.OM=ON.

(2)如图，过点O作OP_LAB于P,

.•.NOB4=90°,ZOPA=AMAE,

•:E为OM中点，/.OE=ME,

又•:NAEM=NPEO,：.△AEM咨APEO,

：.AE=EP,

'：OA=OB,OPLAB,：.AP=BP=1AB=2,

：.EP=\.

RMOP8中，NOBP=45°,：.OP=PB=2,

RtAOEP中，OE=/op2+PE2=5

：.OM=2OE=2yf5,

RtAOMN中，OM=ON,：.MN=gOM=2回.

21.【答案】

解：(1)等腰直角三角形，

(2)①两个结论仍成立.

证明:连接BD.：AB=AB，，NBAB』。，：.ZAB'B=9Q0--,

2

；NB'AD=a-90°,AD=AB\AZAB^BS--,AZEB,D=ZAB,D-ZAB,B=45°.

2

,.,DELBB，，.,.NEDB，=NEB，D=45。，.•.△DEB，是等腰直角三角形，.•.9=0.

DE

•.•四边形ABCD为正方形，.,.些=应，NBDC=45°..•.也=处，

CDDECD

VZEDB^ZBDC,，NEDB，+NEDB=NBDC+NEDB,即NBDB，=NCDE.，△

B'DBs^EDC,

:.里=也=0

CECD

②3或1.思路提示：分两种情况.

情形一，如图，当点B，在BE上时，由篝=0,设BB，=2m，CE="〃.

•.•CE〃B，D,CE=B(D,：,B'D=y/2m，在等腰直角三角形DEB，中，斜边B，D=0根，

.一,「十口,口天“BE2m+m

・・BE=DE=m,于正得至U―；-=----=3.

BEm

情形二，如图，当点B，在BE延长线上时，由竺_=a,设BB，=2m,CE=&n.

•.•CE〃B，D,CE=BD,...B，D="〃，在等腰直角三角形DEB，中，斜边,

.*.B,E=DE=mo于是得到型='=L

BEm

AD

B-

综上所述，黑BE:的值是3或1.

BE

【解析】（1）AABB，是等边三角形，△AB，D是等腰三角形，且NAB，D=75。,

ZDBT=45°,结合DELB'E,可得aDEB，是等腰直角三角形.连接BD,AZ

BDC=45°,易得

NBDB，=NCDE,结合——=——=V2,.\AB^B^AEDC,/.——=——=VL

DCDEBCCE

（2）结论成立，证明方法与（1）一样；（3）分两种情况：当点B，在BE上时和

当点B，在BE延长线上时.

22.【答案】

⑴证明：••・四边形ABCD是正方形，

：.BC=CD=AD=AB=4,ZABE=ZC=ZD=90°,

AZABG+ZCBF=9Q°,

'：BFLAE,

：.ZABG+ZBAE=9G°,

，NBAE=ZCBF,

在△3(#和△ABE中，

rZC=ZABE

1BC=AB,

[ZCBF=ZBAE

.,.△BCF^AAB£：(ASA)；

(2)证明：'JACLBD,BFLAE,

：.ZAOB=ZAGB=ZAGF=9Q°,

...A、B、G、。四点共圆，

AZAGO=ZABO=45°,

：.ZFGO=90°-45°=45°=ZAGO,

...GO平分NAGF；

(3)解：如解图，连接ER

'：CG±GO,

/.ZOGC=90°,

•：/EGF=/BCD=90°,

.\ZEGF+ZBCD=ISQ°,

AC,E、G、尸四点共圆，

：.ZEFC=ZEGC=\SO0-90°-45°=45°,

...△CE尸是等腰直角三角形，

：.CE=CF,

同(1)得△