专题16 平行线加中点模型及雨伞模型（解析版）

专题16平行线加中点模型及雨伞模型（解析版）模型一平行线加中点模型模型讲解：如图AB∥CD，E为AD的中点，延长CE交AB于点F，则△AEF≌△DEC模型识别及应用：当图形中有中点，有平行线时，可用此模型，即有中点有平行线时，图中就有全等三角形。典例1（2023秋•甘井子区月考）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝4．【思路引领】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠EFC，∵E是DF的中点，∴DE＝EF，在△ADE与△CFE中，∠ADE=∠EFCDE=EF∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF，∵AB＝10，CF＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．故答案为：4．【总结提升】此题目主要考查全等三角形的判方法的掌握．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．针对训练1．（2023•灞桥区校级三模）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AD于点F，交AC于点G，则S△ABFA．49 B．14 C．94 【思路引领】根据平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，由DE＝DC得AB＝DE，再根据平行线的性质得∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF，以此可通过ASA证明△DEF≌△ABF，得到S△ABF＝S△DEF，由S△CEF＝2S△DEF＝2S△ABF即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝CD，∴AB＝DE，∵AB∥CD，∴∠EDF＝∠BAF，∠DEF＝∠ABF，在△DEF和△ABF中，∠DEF=∠ABFDE=AB∴△DEF≌△ABF（ASA），∴S△ABF＝S△DEF，∵CD＝DE，∴S△CEF＝2S△DEF＝2S△ABF，∴S△ABF故选：D．【总结提升】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．2．（2021秋•泌阳县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为30．【思路引领】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，在△BAF和△EDF中，∠BAD=∠D∠AFB=∠DFE∴△BAF≌△EDF（AAS），∴S△BAF＝S△EDF，∴图中阴影部分面积＝S四边形ACEF+S△BAF＝S△ACD=12•AC•AD=12×6故答案为：30．【总结提升】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．模型构建及应用（图中有中点及平行线时，可以构建8字全等。仅有中点时，可以作平行线，构建全等三角形）典例2如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．【思路引领】（1）延长AO交CD的延长线于E．只要证明△ABO≌△EDO，推出AO＝OE，AB＝DE，由AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，推出CA＝CE，由OA＝OE，推出OC平分∠ACD．（2）由CA＝CE，推出∠CAE＝∠E，由∠E＝∠BAE，推出∠CAO＝∠OAB，即OA平分∠CAB，根据等腰三角形三线合一即可证明OC⊥OA．【解答】证明：（1）延长AO交CD的延长线于E．∵∠D＝∠ABD＝90°，∴∠CDB+∠ABD＝90°，∴AB∥CE，∴∠BAO＝∠E，在△ABO和△EDO中，∠BAO=∠E∠AOB=∠EOD∴△ABO≌△EDO，∴AO＝OE，AB＝DE，∵AC＝AB+CD，CE＝CD+DE＝CD+AB，∴CA＝CE，∵OA＝OE，∴OC平分∠ACD．（2）∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵∠E＝∠BAE，∴∠CAO＝∠OAB，∴OA平分∠CAB，∵CA＝CE，OA＝OE，∴CO⊥AO．【总结提升】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．针对训练1．（2021•椒江区校级开学）如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【思路引领】延长AE交BC于点F，由“ASA”可证△AED≌△FEC，可得AD＝FC＝5，AE＝EF，由勾股定理可求AF的长，即可求AE的长．【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，∵点E是CD的中点∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD∴AD∥BC∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF∴△AED≌△FEC（ASA）∴AD＝FC＝5，AE＝EF∴BF＝BC﹣FC＝5∴在Rt△ABF中，AF=AB∴AE=【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．阅读理解（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？相等（S表示面积）；应用拓展（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解决问题（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．【思路引领】（1）由于△ABD与△ACD等底同高，根据三角形的面积公式即可得出S△ABD与S△ADC相等；（2）延长DE交CB的延长线于点F，根据AAS证明△DAE≌△FBE，则DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，又由（1）的结论可得S△DEC＝S△FEC，代入即可说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，则S梯形ABCD＝S△CDF，再取CF的中点G，作直线DG，则S△CDG＝S△FDG＝S梯形ADGB=12S梯形ABCD，故直线【解答】解：（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．∵D是BC中点，∴BD＝CD，又∵S△ABD=12•BD•AE，S△ADC=12•∴S△ABD＝S△ADC．故答案为相等；（2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．∵E是AB的中点，∴AE＝BE．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE．在△DAE与△FBE中，∠ADE=∠BFE∠AED=∠BEF∴△DAE≌△FBE（AAS），∴DE＝FE，S△DAE＝S△FBE，∴E是DF中点，∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC，∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）如图所示：取AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F，取CF的中点G，作直线DG，则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．【总结提升】本题考查了三角形的面积，全等三角形的判定与性质，梯形的性质，作图﹣应用与设计作图，（2）中通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．模型二雨伞模型（角平分线加垂直模型）模型讲解：如图，OP平分∠MON,AC⊥于C，延长AC交ON于点B，则△OAC≌△OBC，OA=OB，AC=BC模型识别及应用：当图形中有角平分线且有垂直于这条角平分线的线时，可用此模型。典例1（2023•开州区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为40°．【思路引领】首先利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可以求出∠ACD＝∠AFD，最后利用四边形的内角和求出∠CDF即可解决问题．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，在△AFE和△ACE中，∠FAD=∠CADAE=AE∴△AFE≌△ACE（ASA），∴EF＝CE，AF＝CF，∴∠AFE＝∠ACE，∵CE⊥AD，∴CD＝FD，∴∠DFC＝DCF，∴∠AFD＝∠ACD，∵∠BAC＝60°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠AFD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠CDF＝360°﹣∠BAC﹣∠ACD﹣∠AFD＝140°，∴∠BDF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°．故答案为：40．【总结提升】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质、等腰三角形的性质及四边形的内角和，有一定的综合性．针对训练1．（2023秋•镇海区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A．2.5 B．2 C．4 D．1【思路引领】根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝6，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴AE＝AC﹣CE＝4，∴BE＝AE＝4，∴BD=12BE＝故选：B．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键．3．（2020秋•市中区校级月考）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，MN=32，则△A．19 B．18 C．17 D．16【思路引领】证明△ABN≌△EBN，根据全等三角形的性质得到BA＝BE，AN＝NE，同理可得CA＝CD，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵BN平分∠ABC，∴∠ABN＝∠EBN，在△ABN和△EBN中，∠ABN=∠EBNBN=BN∴△ABN≌△EBN（ASA），∴BA＝BE，AN＝NE，同理可得：CA＝CD，AM＝MD，∵AN＝NE，AM＝MD，MN=3∴DE＝2MN＝3，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BE+BC+CD＝BC+BC+DE＝17，故选：C．【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．模型的建构：通过延长垂直于角平分线的垂线段构建雨伞模型典例2（2021秋•昭阳区期末）如图，AD为△ABC的角平分线．（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝8，AC＝5．则BE＝3．（2）如图2，若∠C＝2∠B，点E在AB上，且AE＝AC，AB＝a，AC＝b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）（3）如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．【思路引领】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得出AE＝AC＝5，再利用BE＝AB﹣AE即可求得答案；（2）利用SAS证明△AED≌△ACD，得出∠AED＝∠C，ED＝CD，由题意可得出BE＝AB﹣AE＝a﹣b，再利用等角对等边证得DE＝BE，即可得出答案；（3）延长AC、BG交于H，先证明△ABG≌△AHG（ASA），得出：BG＝GH，S△ABG＝S△AHG，利用等底等高的两个三角形面积相等可得S△CBG＝S△CGH，设S△CBG＝S△CGH＝x，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠CAF，∵CE⊥AD，∴∠AFE＝∠AFC＝90°，在△AEF和△ACF中，∠EAF=∠CAFAF=AF∴△AEF≌△ACF（ASA），∴AE＝AC＝5，∵AB＝8，∴BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3；故答案为：3．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△AED和△ACD中，AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵AE＝AC，AB＝a，AC＝b，∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b，在△BDE中，∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠C＝∠B+∠BDE，∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠BDE，∴DE＝BE＝a﹣b，∴CD＝a﹣b；（3）如图，延长AC、BG交于H，∵AD平分∠BAC，∴∠BAG＝∠HAG，∵BG⊥AD，∴∠AGB＝∠AGH＝90°，在△ABG和△AHG中，∠BAG=∠HAGAG=AG∴△ABG≌△AHG（ASA），∴BG＝GH，S△ABG＝S△AHG，∴S△CBG＝S△CGH，设S△CBG＝S△CGH＝x，∵S△ACG＝7，∴S△AGH＝S△ACG+S△CGH＝7+x，∴S△ABG＝S△AHG＝7+x，∴S△ABH＝2（7+x）＝14+2x，∴S△ABC＝S△ABH﹣（S△CBG+S△CGH）＝14+2x﹣（x+x）＝14．【总结提升】本题考查了角平分线定义，三角形面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．针对训练1．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为5cm2，则△PBC的面积为（）A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．不能确定【思路引领】延长AP交BC于点D，证明△APB≌△DPB（ASA）得到AP＝DP，根据三角形中线的性质即可求解．【解答】解：延长AP交BC于点D，∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，∴∠ABP＝∠DBP，∠APB＝∠DPB＝90°，在△APB与△DPB中，∠ABP=∠DBPBP=BP∴△APB≌△DPB（ASA），∴AP＝DP，∴S△BDP=12S△ABD，S△CDP=12∴S△PBC＝S△BDP+S△CDP=12S△CDA+12S△BDA=12S△ABC故选：B．【总结提升】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2022•青秀区校级三模）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【思路引领】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．【解答】解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：A．【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．3．（2021•越秀区模拟）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【思路引领】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，∠NAB=∠NADAN=AN∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（2022秋•安溪县期中）[问题情境]利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，易证△AOC≌△BOC，则AC＝BC．其分析过程如下：在△AOC和△BOC中，OP平分∠MON⇒∠AOC＝∠BOCOC＝OCAC⊥OP⇒∠OCA＝∠OCB＝90°⇒△AOC≌△BOC（ASA）在括号内填写全等判定方法字母简称⇒AC＝BC（全等三角形对应边相等）在括号内填写理由依据[问题探究]如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．证明：CD＝2BE；[拓展延伸]如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D在线段BC上，向BC左侧作∠BDE=12∠ACB，BE⊥DE于E，DE交AB于F，试探究BE和【思路引领】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可；[问题探究]延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB（ASA），推出FE＝BE，