第2讲 有理数综合运算（知识讲练）（教师版）

有理数综合运算知识导航③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.倒数的妙用：在四则混合运算中，有时会用倒数（2023春•杜尔伯特县期末）怎样简便就怎样算：0.23×85+15×0.23÷6+×【思路点拨】直接利用乘法分配律以及有理数的混合运算法则计算得出答案．【完整解答】解：0.23×85+15×0.23＝0.23×（85+15）＝0.23×100＝23；÷6+×＝×+×＝×（+）＝×6＝1．【考点提示】此题主要考查了有理数的混合运算，正确运用相关运算法则是解题关键．7．（2023•兰陵县二模）计算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023．【思路点拨】根据有理数的混合运算法则计算即可．【完整解答】解：＝＝2﹣2﹣1＝﹣1．【考点提示】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．（2022秋•鞍山期末）计算：（1）；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．【思路点拨】（1）先把除法转为乘法，再利用乘法的分配律进行运算，最后算加减即可；（2）先算乘方，再算括号里的运算，接着算乘法与除法，最后算加减即可．【完整解答】解：（1）＝（）×（﹣）+（﹣）＝﹣＝﹣2+1+＝；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）＝﹣8﹣3×（16+2）﹣9÷（﹣2）＝﹣8﹣3×18﹣9×（﹣）＝﹣8﹣54+4.5＝﹣57.5．【考点提示】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．（2022秋•定陶区期末）随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的李明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；星期一二三四五六日与计划量的差值+4﹣2﹣5+10﹣9+23﹣7（1）根据记录的数据可知前三天共卖出多少斤？（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？（3）若冬枣每斤按7元出售，每斤的运费平均2元，那么李明本周共收入多少元？【思路点拨】（1）根据前三天销售量相加计算即可；（2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；（3）将总数量乘以价格差解答即可．【完整解答】解：（1）4﹣2﹣5+100×3＝297（斤）．答：根据记录的数据可知前三天共卖出297斤．（2）23﹣（﹣9）＝23+9＝32（斤）．答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售32斤．（3）[（+4﹣2﹣5+10﹣9+23﹣7）+100×7]×（7﹣2）＝714×5＝3570（元）．答：小明本周一共收入3570元．【考点提示】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解答此题的关键是读懂题意，列式计算．知识导航常用数列计算：①分组求和；②连锁约分；③裂项相消；④整体换元；⑤错位相减（2022秋•邹城市校级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：若n＝49，则第2020次“F运算”的结果是（）A．152 B．19 C．62 D．31【思路点拨】解决此类问题的关键在于将新运算转化为学过的数的有关运算法则进行计算，只有转化成功，才能有的放矢．【完整解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2020÷6＝336…4，则第2020次“F运算”的结果是31．故选：D．【考点提示】本题考查了有理数的混合运算，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．（2021秋•北仑区期末）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，可以把算式转化为．【思路点拨】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成1﹣，再求出答案即可．【完整解答】解：＝1﹣＝，故答案为：．【考点提示】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力．（2022秋•长沙期末）观察下列三个等式：，，，我们称使等式a﹣b＝ab成立的一对有理数a，b为“有趣数对”，记为（a，b），例如数对，，都是“有趣数对”，请回答下列问题：（1）数对是“有趣数对”吗？试说明理由．（2）若是“有趣数对”，求a的值．（3）若（2，m2+2m）是“有趣数对”，求10﹣6m2﹣12m的值．【思路点拨】（1）根据“有趣数对”的定义即可得到结论；（2）根据“有趣数对”的定义列方程即可得到结论；（3）根据“有趣数对”的定义列方程化简可得m2+2m＝，利用整体思想即可得到结论．【完整解答】解：（1）数对不是“有趣数对”，理由如下：∵5﹣＝，5×＝，∴（不是“有趣数对”；（2）∵（a，）是“有趣数对”，∴a＝a﹣，解得：a＝；（3）∵（2，m2+2m）是“有趣数对”∴2﹣（m2+2m）＝2（m2+2m），解得：m2+2m＝，∴10﹣6m2﹣12m＝10﹣6（m2+2m）＝10﹣6×＝10﹣4＝6．【考点提示】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程，一元二次方程的解，正确地理解题意列出方程解方程是解题的关键．（2021秋•红花岗区期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．【类比探究】（1）猜想并写出：＝；【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：；【迁移应用】（3）探究并计算：．【思路点拨】（1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；（2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题；（3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题．【完整解答】解：（1）＝，故答案为：；（2）由（1）易得：＝＝＝；（3）+＝﹣×（++++…+）＝﹣×（1﹣++…+）＝﹣×（1﹣）＝﹣×＝﹣．【考点提示】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题．一．选择题（共6小题）1．（2023•肇东市三模）现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（）A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7解：∵a*b＝b2﹣a，∴（﹣2）*（﹣3）＝（﹣3）2﹣（﹣2）＝9+2＝11，故选：A．2．（2022秋•高碑店市期末）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（）A．15 B．13 C．11 D．﹣5解：当x＝﹣1时，（﹣1）×（﹣2）+1＝2+1＝3＜10，当x＝3时，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10，当x＝﹣5时，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，输出11．故选：C．3．（2023•镇江模拟）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（）A．2021 B．2022 C． D．解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，由（2）知f（）＝2022，∴f（2022）﹣f（）＝4044﹣2022＝2022，故选：B．4．（2022秋•泊头市期中）下列等式中，正确的是（）A． B．﹣34＝（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3） C． D．解：A、原式＝，故该选项正确，符合题意；B、原式＝﹣（3×3×3×3），故该选项错误，不符合题意；C、原式＝，故该选项错误，不符合题意；D、原式＝，故该选项错误，不符合题意，故选：A．5．（2021秋•鄂城区校级期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或﹣24．其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（﹣4）×（﹣3﹣6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或﹣36．下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A．（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种解：①6×（﹣3+2）×（﹣6）＝6×（﹣1）×（﹣6）＝36，符合题意；②（﹣4）×[6﹣（﹣6÷2）]＝（﹣4）×（6+3）＝﹣4×9＝﹣36，符合题意；③（﹣4）×（﹣6﹣6÷2）＝（﹣4）×（﹣6﹣3）＝（﹣4）×（﹣9）＝36，符合题意；④（﹣4）×（﹣3﹣6÷1）＝（﹣4）×（﹣3﹣6）＝（﹣4）×（﹣9）＝36，符合题意．故选：D．6．（2022秋•永春县期中）设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18 B．20 C．24 D．25解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故选：D．二．填空题（共5小题）7．（2023春•宝安区校级期中）现定义运算“⊕”，对于任意有理数a，b，都有a⊕b＝a2﹣ab+b．例如：3⊕5＝32﹣3×5+5＝﹣1，由此可知x⊕（2+x）＝﹣x+2．解：根据题中的新定义得：x⊕（2+x）＝x2﹣x（2+x）+（2+x）＝x2﹣2x﹣x2+2+x＝﹣x+2．故答案为：﹣x+2．8．（2022秋•如皋市校级期末）规定如下两种运算：x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1．例如：2⊗3＝2×2×3+1＝13；2⊕3＝2+2×3﹣1＝7．若a⊗（4⊕5）的值为79，则3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]的值是7．解：∵x⊗y＝2xy+1；x⊕y＝x+2y﹣1，a⊗（4⊕5）的值为79，∴a⊗（4+2×5﹣1）＝a⊗（4+10﹣1）＝a⊗13＝2a×13+1＝26a+1，∴26a+1＝79，解得a＝3，∴3a+2[3a﹣2（2a﹣1）]＝3a+2（3a﹣4a+2）＝3a+6a﹣8a+4＝a+4＝3+4＝7，故答案为：7．9．（2022秋•安岳县期末）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝3．解：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案为：3．10．（2021春•梅州校级期中）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令m＝1+2+22+23+…+2100，则2m＝2+22+23+…+2101，因此，2m﹣m＝2101﹣1，所以m＝2101﹣1．仿照以上推理计算：1+3+32+33+…+3100的值．解：令m＝1+3+32+33+…+3100，则有3m＝3+32+33+…+3101，因此2m＝3101﹣1，所以m＝，则1+3+32+33+…+3100＝，故答案为：11．（2021春•武侯区校级期中）如图，定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝449，则第449次“F运算”的结果是8．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5＝1352（偶数），需再进行F②运算，即1352÷23＝169（奇数），再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），再进行F②运算，即8÷23＝1，再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．故答案为：8．三．解答题（共9小题）12．（2023•章贡区校级模拟）计算：（1）﹣12008﹣[5×（﹣2）﹣（﹣4）2÷（﹣8）]；（2）（5﹣﹣）÷（﹣1）．解：（1）﹣12008﹣[5×（﹣2）﹣（﹣4）2÷（﹣8）]＝﹣1﹣[（﹣10）﹣16÷（﹣8）]＝﹣1﹣[（﹣10）+2]＝﹣1﹣（﹣8）＝﹣1+8＝7；（2）（5﹣﹣）÷（﹣1）＝（﹣﹣）×（﹣）＝×（﹣）﹣×（﹣）﹣×（﹣）＝﹣3++＝﹣＝﹣．13．（2022秋•泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．（1）如果小玲想的数是﹣5，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？解：（1）（﹣5×3﹣6）×3+7＝﹣56；（2）设这个数为x，（3x﹣6）×3+7＝2023，解得，x＝226．∴小明想的那个数是226．14．（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）＝﹣＝+＝1；（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝+＝3b﹣1，B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝+＝3b+1，则A＜B．15．（2023•宣州区三模）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：①；②．解：①＝＝＝；②＝＝＝＝＝．16．（2022秋•沙坪坝区期末）2022年卡塔尔世界杯期间，某电商平台直播间从开幕式第一天起开启了为期一周的直播公益活动，活动如下：每销售一只世界杯吉祥物“拉伊卜”，就从销售额里拿出一部分作为慈善基金捐赠给某希望中学用于购买学生体育用品．规定当天吉祥物销售量超过300只的部分记为“+”，低于300只的部分记为“﹣”，下表是公益活动一周的销售量：时间11.2111.2211.2311.2411.2511.2611.27销售量超过部分（单位：只）200180220﹣50﹣10016090（1）求这一周公益活动期间的“拉伊卜”总销售量？（2）吉祥物“拉伊卜”的销售单价是120元，捐赠方案如下：每天销售量中不超过300只的部分，按每只销售价的1%捐赠；每天销售量中超过300只的部分，按每只销售价的2%捐赠．求直播公益活动期间一共捐赠了多少钱？解：（1）300×7+（200+180+220﹣50﹣100+160+90）＝2100+700＝2800（只）．故这一周公益活动期间的“拉伊卜”总销售量是2800只；（2）（300×7﹣50﹣100）×（120×1%）+（200+180+220+160+90）×（120×2%）＝1950×1.2+850×2.4＝2340+2040＝4380（元）．故直播公益活动期间一共捐赠了4380元钱．17．（2022秋•郑州期末）概念学习：现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．初步探究：（1）直接写出计算结果：3②＝1；（﹣）③＝﹣3；（2）下列关于除方说法中，错误的有D；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1．深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝；（4）比较：（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩；（填“＞”“＜”或“＝”）（5）计算：﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④．解：（1）由题意可得，3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，故答案为：1，﹣3；（2）任何非零数的圈2次方都等于1，故选项A正确，不符合题意；任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项B正确，不符合题意；负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故选项C正确，不符合题意；圈n次方等于它本身的数是1，﹣1的圈偶数次方等于1，﹣1的圈奇数次方等于﹣1，故选项D错误，符合题意；故选：D；（3）有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为：aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a•••…•＝，故答案为：；（4）（﹣2）⑩＝（﹣）8＝，（﹣4）⑩＝（﹣）8＝，∵＞，∴（﹣2）⑩＞（﹣4）⑩，故答案为：＞；（5）﹣1③+142÷（﹣）①×（﹣7）⑥﹣（﹣48）÷（）④＝﹣1+196÷（﹣）×（﹣）4+48÷72＝﹣1+196×（﹣2）×+48÷49＝﹣1﹣+＝﹣．18．（2022春•东方校级期中）观察下列等式：＝1﹣，＝，＝三个等式两边分别相加得：＝1﹣＝1﹣＝（1）猜想并写出：﹣；（2）直接写出下列各式的计算结果：+++…+＝；（3）探究并计算：+++…+．解：（1）根据题意得：＝﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）原式