新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题10 数列 10.1等差数列（原卷版）

专题十《数列》讲义10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)①通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．②通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(3)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．①若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．②当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(4)前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)eq\o(→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(2)若{an}是等差数列，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).(3)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{an}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝．2．（2018•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．123．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{an}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30 B．24 C．18 D．122．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1A．17 B．16 C．15 D．143．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝36，则公差d为．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：（1）数列{an}是递增数列；（2）数列{nan}是递增数列；（3）数列{a（4）数列{an+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2（n∈N*），则{an}的通项公式为（）A．an＝2n B．an＝2n﹣1 C．an＝3n﹣2 D．a3．在数列{an}中，若an＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11 B．﹣17 C．﹣18 D．3题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27 B．33 C．36 D．452．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1=−11，S10A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣103．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知SnTnA．1321 B．214 C．1327题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（）A．8 B．9 C．10 D．162．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n为何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．3．（2014·江西）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为．题型六.证明等差数列1．已知数列{an}满足a1=35，an=2−（1）求证数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大项和最小项．2．已知数列{an}中，a2＝1，前n项和为Sn，且Sn=n(（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；课后作业.等差数列1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36 B．24 C．16 D．82．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣23．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0 B．当且仅当n＝7时，Sn取得最大值 C．S4＝S9 D．满足Sn＞0的n的最大值为124．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{an}的前n项和最大；当Sn＞0时n的最大值为．5．在数列{an}中，a2＝8，a5＝2，且2an+1﹣an+2＝an（n∈N*