南昌大学理学院《814高等代数》历年考研真题汇编

目录

第1部分南昌大学高等代数考研真题

2010年南昌大学高等代数考研真题

2009年南昌大学高等代数考研真题

2008年南昌大学高等代数考研真题

第2部分兄弟院校高等代数考研真题

2014年北京科技大学825高等代数考

研真题

2014年苏州大学831高等代数A卷考

研真题

2013年华东师范大学817高等代数考

研真题

2013年华中师范大学834高等代数考

研真题

2012年西南大学819高等代数考研真

题

第1部分南昌大学高等代数考研真题

2010年南昌大学高等代数考研真题

南昌大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1．（20分）计算n（n>1）级行列式

2．（25分）设是复数域上一个常数项不为零的单元多项式，n为一

个正整数，证明：没有重根，当且仅当没有重根。

3．（26分）设n级矩阵A满足=0，其中k是一个正整数，证明：n级矩

阵E+A的行列式为1，这里E为n级单位矩阵。

4．（26分）设V是数域P上一个n为向量空间，A是V的一个线性变换，

且，现考虑V如下子集：W=

。

证明：（1）W是V的一个A-不变子空间

（2）对于V的任意一个包括的A-不变子空间U,WU。

5．（27分）设V是一个欧式空间，是V的一个标准正交向量

组，证明：对于V的任意一个向量如下不等式成立：

，

这里（u,v）表示V中向量u和v的内积。

6．（28分）设A是一个n级是对称矩阵，是A的顺序主子式，

都是实数，使得证明：A合同如下列矩阵：

2009年南昌大学高等代数考研真题

南昌大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1．（20分）计算n级行列式：

2．（25分）设，和都是数域P上一元多项式，且的次数

大于零，证明：和互素，当且仅当和互素。

3．（24分）设n级矩阵A满足,其中K为一个正整数，证明：

。

4．（26分）设V是数域P上一个向量空间，是V中一组向量，

其中n>1,

是数域P上n维行向量空间，且W是的

如下子集：

W=｛（）｝

证明：（1）W是的一个子空间。

（2）若是向量组的一个极大线性无关组

这里。则子空间W有如下一组基：

（），…，(

5．（27分）设E是一个人n维欧氏空间，A是E的一个线性变换，证明：

A是E的一个对称变换，当且仅当对于E的任意一个标准正交基，A在该

基下的矩阵为对称矩阵。

6．（28分）设A和B都是n级实对称矩阵，且A=BC，其中C是一个n级

实矩阵，而为矩阵C的转置。证明：A的正惯性指数和负惯性指数都

不超过矩阵B。

2008年南昌大学高等代数考研真题

南昌大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题

1．（20分）计算n级行列式：

2．（25分）设和都是数域P上一元多项式，且的次

数大于零。证明：是和的最大公因子。当且仅当是

和的最大公因子

3．（25分）设V是数域P上n维向量空间，是V的一个线性变换，证

明：若V中每个非零向量都是的特征向量，则有某个，使

得对于每个

4．（25分）设n级矩阵A满足

5．（27分）设E是一个欧式空间，

的秩等于下面矩阵的秩：

A其中的内积。

6．（28分）设A是一个n级实对称矩阵，的顺序主子

式，

证明：若A至少有m个正的特征值，

这里重特征值的个数按重数计算。

第2部分兄弟院校高等代数考研真题

2014年北京科技大学825高等代数考研真题

北京科技大学

2014年硕士学位研究生入学考试试题

试题编号：825试题名称：高等代数（共2页）

适用专业：数学、统计学、固体力学

说明：所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.

一(15分)、设是一个整系数多项式.证明：如

果是奇数，则既不能被整除，又不能被整除.

二(20分)、计算行列式，其中.

三(15分)、设为阶方阵，证明：的充分必要条件是存在维

非零列向量，使得

(表示的秩).

四(20分)、(1)若都是阶方阵，证明：.

(2)若()都是阶方阵，证明：

五(30分)、设是数域上的全体矩阵按照矩阵加法和数乘构成

的线性空间.已知

和

是的两组基，是的线性变换，定义为

(1)求由基到基的过度矩阵；

(2)求一个非零的使它在和下有相同的坐标；

(3)求的特征值；

(4)求的特征子空间.

六(20分)、设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐

次线性方程组的一个基础解系,证明:

(1)线性无关；

(2)是线性方程组的个线性无关的解.

七(15分)、试证：实对称矩阵的特征值全部落在区间上的充分必

要条件是矩阵半正定且

半正定