2021届高中数学综合、交汇习题集08

《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》

在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的

考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与

圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……

第08篇

1.（皖，2021届太和一中高三月考）给出下列命题:

X是奇函数;

①函数y=cos<5

②存在实数x,使sinx+cosx=2；

③若夕是第一象限角且av氐则tana<tan优

n(57ZI

④尤=是函数y=sin/2x+।的一条对称轴;

-8-14

⑤函数y=sin|「2x的图象关于点|\t，01成中心对称.

其中正确命题的序号为.

2.（皖，2021届合肥市高三调研）已知函数/（x）=x-cosx（xeR）,a,4是钝角三角形的两个锐角,

则/(cos@/(sin^(填写：">"或"<"或"=").

3.（2021届百师联盟新高考高三联考）在"全面脱贫"行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫

免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不

应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元,

余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为元.（取

1.2"=7.5，1.2,2=9）

4.（闽，2021届罗源一中高三月考）在面积为2的DABC中，E,尸分别是AB,AC的中点，点P在

直线瓦'上，则把.理+糅2的最小值是.

--y

5.（皖，2021届阜阳太和一中高三检测）已知向量a=（2,y）1=（lnx,—2）,且那么一的最大值

x

为.

6.（京，2021届中关村中学高三月考）设。为平面直角坐标系xOy中的点集，从Q中的任意一点P作x

轴、y轴的垂线，垂足分别为记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x（。）,点N的纵坐标的最大

值与最小值之差为y（Q）.若。是边长为1的正方形，给出下列三个结论：

①x（Q）的最大值为0

②x（Q）+y（Q）的取值范围是

③x（Q）-y（Q）恒等于0.

其中所有正确结论的序号是

2

7.直线屈—y—3=0与％轴交于A，与圆M:(x-2y+(y+3)2=4交于8、C两点，过4的直线与

过8、。两点的动圆N切于P,当口P8C的面积最大时，切线AP的方程为()

A・x++出=°B.产+y+«=°

C.>j3x+y->j3=0D.x+J3y-y/3-0

8.(皖，2021皖南八校高三联考)某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：小时)与设置储存温度x(单位:。。近

似满足函数关系y=3kx"(k,b为常数)，若设置储存温度0℃的保鲜时间是288小时，设置储存温度5℃的

保鲜时间是144小时，则设置储存温度15%：的保鲜时间近似是

A.36小时B.48小时C.60小时D.72小时

9.(皖，2021届皖江名校高三联考)已知直线/与平面a,B，满足/贝上〃"是"/_L。

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.(皖，2021届阜阳一中高三检测)已知函数/(x)=e*,g(x)=21nx,/z(x)=%2-4龙+机，直线x=%

分别交函数/(X)和g(x)的图象于点A和点8.若对任意％,与e[l,e]都有|AB|>幻成立，则实数m的取

值范围是()

A.(-8,d+2)B.(-8,e+4)C.(-oo,5e一夕)D.(—co,e+3)

11.欧拉恒等式/+1=0被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例.欧拉公式：

e,x=cosx+isinx(i为虚数单位，e为自然对数的底数，自变量e'"=cos%+isin%=-1,得

eix+1=0,根据欧拉公式，复数z=e',在复平面上所对应的点在第象限象限.

A.-B.~C.三D.四

f|x+4|-2,x<—2,

12.(皖，2021皖南八校高三联考)已知函数/(幻=4以下结论正确的个数有

[2/(x-4),x>-2.

①/(2020)=25°7；

②方程1有四个实根；

4

③当xG[6,10)时,f(x)=8|x-8|-16;

8

④若函数y=/(x)—t在(-8,10)上有8个零点xi(i=l,2,3，…,8),则£xjaj的取值范围为(-16,0).

/=1

A.1B.2C.3D.4

3

13.（皖，2021届太和一中高三月考）己知函数y=k）g〃（x-l）+2（”>0且arl）恒过定点A.若直

12

线如+〃y=2过点A,其中加，〃是正实数.则_+_的最小值是（）

mn

9

A.3+0B.3+20c--D-5

f21

14.已知集合A=（（x,一•+若=1>,B={（x,y）\y=kx+m,ZzCR,机GR},若对任意实数&,ACBW

I4J

。，则实数，〃的取值范围是.

15.（皖，2021届阜阳太和一中高三检测）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就

是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形

A3CO的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,8。是其两条对角线，BD=8,且△ACO为正三角形，

则四边形A8CD的面积为（）

A.8GB.16GC.246D.32若

4

《2021届高中数学综合、交汇习题集》第08篇参考答案

1.①④

2.【答案】>

【详解】

由f\x)=1+sinxN0,可得/(x)在R上单调递增，

因为a,夕是钝角三角形的两个锐角，所以。+住”,_0〈代_

222

•••y=sinx在|，0,「上单调增，sinP<sin]:-c?|sin/3<cosa,

l切I2)

所以/(cosa)>/(sin0)

故答案为：>

3.【答案】40000

【详解】

设一月月底小王手中有现款为a,=(1+20%)xlOOOO-1000=11000元，

〃月月底小王手中有现款为乙,〃+1月月底小王手中有现款为。用，

则an+l=1.2a„-1000,即a„+1-5000=1.2(a„-5000),

所以数列｛%-5000｝是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，

a-5000=6000x1.2",即a=6000x1.2'1+5000=50000jt.

1212

年利润为50000-10000=40000元.

故答案为：40000.

4、班

5.【答案】1

e

【解析】先根据向量的垂直关系得到元)之间的关系式，再将乙表示为关于x的函数，利用导数分析求解

X

出土y的最大值.

x

【详解】

由题意可知a.b=0，即y=lnx,

5

所以=m"(X>0),令/(x)=mx(龙〉0),即求/(x)的最大值，且尸(x)=1一“龙,

XXX厂

当xe(0,e)时，/(x)>0J(x)在区间(0,e)上单调递增；当xe(e,+oo)时，/'(x)<0,7(x)在区间

(e,+00)上单调递减，

所以当尤=0时，/(x)=/(e)=_,即}的最大值为

ex6

故答案为：一.

e

6.【答案】①②③.

【解析】易得乂。),)，(。)与正方形。的位置无关，故可以考虑将正方形确定在原点，再绕着原点旋转分析所

有情况即可.

【详解】

如图由题易得武。),>(。)与正方形。的位置无关，故将正方形A8C。确定在原点,则只需考虑当正方形

ABCD绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长J5.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值

x(0)=y(0)=lEx(Q)=y(Q)=max{0cosa,痣ina}

对①,MQ)€[1闵，故①正确

对②，MQ)+NQ)=2x(。)e[2,2口,故②正确.

对③，因为x(Q)=>(。)=max{6cosa-s/sinc^，故x(。)-y(Q)=0,故③正确.

故答案为①②③

7.【答案】D

【详解】

6

”是BC中点，如图，A(6'0),M(2,—3),=2『+32=16-4/，

|AP「=NWNP『=QA"f+N"［)-(|C//|2+j)=\AH［-pH］=(1)一

［MCfTMuDnlAMf-MC〔=12-为定值，.•.|A0为定值，设口P8C的BC边上高为。，由

QPBC的面积S="C1,由于?C.变，则当PA,BC时，力最大，S=为。,最大，则AP的方

程为：丁=-耳(-6)nx+g)，—6=().

8.答案A

9.【答案】B

【解析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】

当/〃O0寸，不能推出/，/?；当/，例，又Iaa,可得/

Ila-故选：B.

10.【答案】D

【详解】

由题意，直线x=G分别交函数/(X)和g(x)的图象于点A和点B,故IABke-21nx

设尸(x)=e*-21nx(lWe),则问题可以转化为在区间［l,e］内F(x)inin〉〃(x)11m.

因为尸a)=e*-l/一2>0,所以尸(x)在［l,e］上单调递增,故尸(次*=尸(1)=e.

因为/?(*)=/—4%+山，其对称轴x=2,所以在区间U,e］上，/⑴>/(e)即

h(x)max=/?(!)=1-4+MZ=m-3,所以e>机一3，即m<e+3.

故选：D.

7

11答案B

12.答案B

13.B【解析】易知函数y=log“(x-l)+2过定点(2,2),2〃z+2〃=2,即加+”=1,

12zJ12、.2m,_____

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