x第2章 计算机运算基础

第二章计算机运算基础进位计数制。数的表示方法。

数的运算方法。本节重点：数的表示方法,二进制加法电路。本节难点：数的表示方法,二进制加法电路。本节内容：第一节数制一、进位计数制：按进位的原则进行记数的数制，称为进位记数制。1、十进制(DecimalSystem)：逢十进一共有十个数码:0,1,2,...,952389十进制万千百十个进位记数制两个最基本概念a权：个，十，百，千等表示权。十进制的权是以10为底的幂，第i位的权为10i。

b基：所使用数码的个数。十进制的基是10。52389=5x104+2x103+3x102+8x101+9x1002、二进制(BinarySystem)：逢二进一共有2个数码:0,1

权是2i；基是2。3、八进制(OctaveSystem)：逢八进一共有8个数码:0，1，2，...，7

权是8i；基是8。4、十六进制(HexadecimalSystem)：逢十六进一共有16个数码:0，1，...，9，A，...，F

权是16i；基是16。十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制000091001119111110101012A2102211101113B3113312110014C41004413110115D51015514111016E61106615111117F7111771610000201081000108表2-1常用记数制表示数的方法

二、计算机中为什么要用二进制或十六进制记数能用最少的状态表示最大的数，这样计算机硬件结构最简单十进制八进制二进制状态数40（4位）40（5位）40（10位）最大值999985-1=32767210-1=1048575采用x进制数，位数为n，x.n为状态数。假设x.n=c（常数），其表示的最大数为xn-1。设f(x)=xn-1，显然f(x)为最大时最节省状态。令p(x)=f(x)+1=xn，显然f(x)最大时p(x)也最大。对p(x)=xn=xc/x两边取对数并求导，令导数为0即可取得极大值，经过推导得：

ln

x=1，即x=2.71828理论上3进制所用的状态量最少，其次为2进制。但因电路中一般只有2种状态，故计算机中采用2进制数是必然的。因二进制表示数的位数很长，为了书写简短，便于记忆，也采用16进制。如：（1010

1101

1000

0101）2=（AD85）16

A

D

8

5三数制之间的转换

1十进制

二进制整数部分：除2取余法2532613631001011122222低位高位（52）10=（110101）2整数部分1整数部分0整数部分10.625

21.250.250.50

21.0

2（0.625）10=（0.101）2小数部分：乘2取整法注：如果小数部分不是0，则要继续乘下去。对于有些数，小数部分不可能为0，则只能根据精度要求取近似值。

2二进制

十进制

按权展开即可:按权展开即可:3二进制

十六进制将二进制数4位一组，用相应16进制数表示，不足部分添0。(0001

0110

1101.0100

1010)2

=(16D.4A)164十六进制

二进制一位十六进制数可以用四位二进制数表示。（0001100001100011.01011011）2（1863.5B）16所以(1863.5B)16=(0001100001100011.01011011)2第二节数的表示方法一、真值与机器数机器数：一个数在机器中的表示形式；真值：这个数本身，即用+-号表示的数；N1=+1001010BN2=-1001010B0100101011001010符号位数值部分带符号数：在符号位用0表示正，1表示负。比如上面的N1=74，N2=-74。无符号数：全部有效位均表示数的大小，无符号位。01001010表示无符号数7411001010表示无符号数202

二、数的定点和浮点表示方法定点表示法：小数点在数中的位置是固定不变的。浮点表示法：小数点在数的位置是浮动的。定点表示法：对于一十进制数：231.6=0.2316*103类似的，对于二进制N有

N=2P*SP：数N的阶码，指明了小数点的位置；S：数N的尾数，表示数N的全部有效数字。计算机中通常有两种约定：假定P=0，且尾数S为纯整数，这时定点数只能表示整数。假定P=0，且尾数S为纯小数，这时定点数只能表示小数。符号位尾数S.符号位尾数.SN=-101111111011111符号位尾数（纯整数）2浮点表示法：阶码是个可变的数值设N=2P*SP正负用阶符Pf表示：Pf=0时阶码为正，Pf=1时阶码为负。S正负用数符Sf表示：Sf=0时尾数为正，Sf=1时尾数为负。数符阶符阶码尾数高8位尾数低8位AddrAddr+1Addr+2

76543210三、原码、反码、补码原码、反码、补码是带符号机器数的表示方法。1、模的概念我们把一个计量器的容量称为模或模数，记为M或modM。一个n位2进制寄存器的模为M=2n。模的特点：当模为2n时，2n和0在机器中表示方法是相同的。n=4，24=16=10000000010=000000002、原码表示法D7D6D5D4D3D2D1D0符号位数的大小0正数1负数[+1001010B]原=01001010B[-1001010B]原=11001010B原码的特点：(1)数值部分即为带符号数的二进制数(2)“0”有+0和

0之分(+0)原

=00000000B(

0)原

=10000000B(3)8位二进制原码表示数的范围1111,1111B~01111111B即

127~+1273反码表示法正数的反码与其原码相同。负数的反码：符号位不变，数字位按位取反。

[+127]原

=[+127]反

=01111111B[

127]原

=11111111B[

127]反=10000000B反码的特点：“0”有

0和

0之分

[+0]反

=00000000B,[

0]反

=11111111B8位二进制反码表示数的范围10000000B~01111111B即

127~+1274补码的表示0123456789顺时针为加逆时针为减A=5，B=3A-B=2如果顺时针转动7格，即A+B'=5+7=12指针仍然指2。称B=-3与B'=7对模10同余，B'称为B对模10的补数或补码。设B为一负数，其模为M，则B的补码为M+B。在2进制中，通常以2n为模，因此：

[X]补=2n+XX为正数，[X]补就是X本身；X为负数，[X]补就是从2n减去|X|例：当X1=-1010011，求其补码？[X1]补=[-1010011]=28-1010011=(11111111+1)-1010011=(11111111-1010011)+1=[X1]反+1所以有：[X1]补=[X1]反+1正数的补码与其原码相同。负数的补码：符号位不变，数字位取反最低位加1，也即反码+1。结论：(2)8位二进制补码表示数的范围：10000000B~01111111B即

128~+127(1)[+0]补=[-0]补=00000000B

[+0]补=[+0]原=00000000[-0]补=[-0]反+1=11111111+1=100000000补码的特点：对于负数：（1）已知[X]原，求[X]补符号位不变，数字位取反，最低位加1。（2）已知[X]补，求[X]原[[X]补]补=[X]原（3）求补：已知[X]补，求[-X]补连同符号位一起取反，最低位加1。8位有符号数的表示范围对8位二进制数：原码：-127~+127

反码：-127~+127

补码：-128~+127

想一想：16位有符号数的表示范围是多少？

5常用编码（1）二-十进制（BCD）码用二进制编码表示十进制数称为BCD码。一位十进制数需要用4位二进制编码表示。例如：(0100100101111000.000101001001)BCD

(4978.149)DBCD码优点：与十进制转换方便，容易阅读；缺点：表示的数位长，增加电路复杂性，减慢运算速度。当希望计算机直接用十进制进行运算时，应将数用BCD码来存储和运算。但要对二进制运算结果进行十进制调整。0100+001101114370100+10001100481212的BCD码：00010010例BCD码加法BCD加法调整规律：若两个BCD数相加结果大于1001，亦即十进制数大于9，则应做加0110（即加6）调整。若两个BCD数相加结果并不大于1001，但却产生了进位，相当于十进制运算大于等于16，则也要做加0110（加6）调整。010101000100100010011100

011010100010011000010000

0010+)+)+)例加6调整5448高4位加6调整102BCD减法调整规律：若两个BCD数相减时，低4位向高4位有借位，在低4位就要做减0110（即减6）调整。（2）字母数字代码----ASCII码及通用字符编码ASCII：AmericanStandardCodeforInformationInterchange,即美国信息交换标准代码。采用7位二进制代码对字符进行编码数字0~9的编码是0110000（30H）~0111001，它们的高3位均是011，后4位正好与其对应的二进制代码（BCD码）相符。最高位通常做奇偶校验用。

0000010100111001011101110000NULDLESP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB‘7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS,<L\l|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>N^n~1111SIUS/?O_oDELNUL空SOH标题开始STX正文结束ETX本文结束EOT传输结束ENQ询问ACK承认BEL报警符BS退格HT横向列表LF换行VT垂直制表FF走纸控制CR回车SO移位输出SI移位输入SP空格低四位高三位例：1101+1001=101101101+)10011011

0第三节数的运算方法一基本运算加法：0+0=00+1=1+0=11+1=10乘法：0*0=00*1=1*0=01*1=1例：1101-0111=0110

1

1

01-)011101

10例：1101*110=10011101101+)110

00001101

11011001110例：11011÷101=101余10

10110111011

101111

10110二、补码的加减法运算特点：符号位与数值部分一起参加运算，并且自动获得结果（包括符号和数值部分）。1、补码的加法运算因为[X]补+[Y]补=2n+X+2n+Y=2n+(X+Y)=[X+Y]补所以有：

[X]补+[Y]补=[X+Y]补例：X=+10010B，Y=-01111B，则

[X]补

=010010+)[Y]补

=110001[X+Y]补=1000011符号位的进位，丢掉2、补码的减法运算

[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补=[X-Y]补例：X=-0111000B，Y=-0010001B

[X]补=11001000

[Y]补=11101111[-Y]补=00010001[X]补=11001000+)[-Y]补=00010001[X]补+[-Y]补=11011001[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=11001001三、定点乘法运算实现定点乘法运算就是确定乘积的符号和乘积的数值。符号：同号相乘，乘积为正；异号相乘，乘积为负。数值：两数尾数之积。例：两个无符号数A=1011，B=11011011被乘数*）11

0

1乘数

1011

0000

1011101110001111部分积乘积结论：两个n位无符号数相乘，乘积的位数为2n位；乘积等于各部分积之和。四、逻辑运算（布尔代数）布尔代数也称逻辑代数。和普通代数一样，可以写成下面这样的表达式：

Y=f(A,B,C,D)特点：1.变量只有两种可能的数值：0

，12.函数f只有三种基本方式：“与”“或”“非”。由此可导出其他的逻辑运算：“异或”，“同或”，“与或非”。1.与运算（Y=A·BY=A∧BY=A×B

）与运算也称为逻辑乘法。运算规则为

Y=0·0=0Y=1·0=0

Y=0·1=0Y=1·1=1Y=1结论：二者皆真(1)结果为真(1)，有一伪者(0)结果必为伪(0)。“见0得0，全1为1”。例：11001010A×）00001111B00001010YY=A·B=00001010Y=02.或运算（Y=A+BY=A∨B）或运算也称为逻辑加法。运算规则为

Y=0+0=0Y=0Y=1+0=1

Y=0+1=1Y=1+1=1结论：二者皆伪(0)结果必伪(0)，有一真者(1)结果为真(1)。“见1得1，全0为0”。Y=1例：10101A+）11011B11111YY=A+B=111113.反运算（Y=）反运算也称为非运算，逻辑否定。运算规为：

=0=1

当A为多位时，A=A1A2A3A4...An。则逻辑反例：设A=11010000，则Y==001011114.异或运算（Y=AB）或运算也称为逻辑加法。运算规则为

Y=00=0Y=0Y=10=1

Y=01=1Y=11=0Y=0结论：两变量相同，结果为0；两变量不同结果为1。Y=1例：1010A

）1101B0111YY=AB=01115.布尔代数的基本运算规律恒等式

A·0=0A·1=AA·A=AA+0=AA+1=1A+A=AA+=1A·=0=A运算规律交换律