初三数学二次函数(总结)

一、如何求函数的图像与坐标轴的交点坐标与x轴的交点坐标可以设y=0，再解方程。与y轴的交点坐标可以设x=0，再解方程。例：如何求一次函数y=x-3的图像与x轴的交点坐标.第一种方法：通过计算设y=0,得x-3=0.解得x=3.所以图像与x轴的交点坐标是（3，0）.第二种方法看图像例：如何求二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标呢？方法一：设y=0,得到一个一元二次方程x2-2x-3=0，解得x1=3,x2=-1,所以与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0)也可以观察抛物线与坐标轴的交点情况得到两个交点坐标.我们可以知道：二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根，反之也成立。观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况一元二次方程的实数根情况

与二次函数与x轴的交点个数之间的关系一、填空：1、根据一元二次方程根的情况判断二次函数的图像与x轴的交点个数。(1)y=3x2+2x-4与x轴的交点个数()(2)y=x2-4x+4与x轴的交点个数()(3)y=x2+3x+1与x轴的交点个数()2、作出二次函数y=x2-4x+3的图像。（1）与x轴的交点坐标（）,（）（2）与y轴的交点坐标（）（3）顶点坐标（）（4）对称轴（）3、根据y=x2-4x+3的图像填空（1）y=0时x的取值是（）（2）y>0时x的取值范围是（）（3）y<0时x的取值范围是（）4、作出函数y=-x2+x+2的草图，并且根据图像回答问题。（1）与x轴的交点坐标与y轴的交点坐标，顶点坐标。（2）y>0时x的取值范围是。（3）y<0时x的取值范围是。二、最大值问题1、某粮食种植大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100-150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x亩今年每亩的收益为（440-2x）元。试问该种粮大户今年要承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？分析：总收益=去年收益+今年收益=去年亩数×每亩收益+今年亩数×每亩收益。可设总收益为y元。解：设总收益为y元。y=440×360+（440-2x）·x（根据题意列出函数式）=-2x2+440x+158400（化为一般式）答：今年要承租110亩稻田才能使总收益最大，最大收益是182600元。2、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，由此每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品。请问增加多少台机器，可以使每天的总产量最大？最大产量是多少？解：设增加x台，每天的总产量为y件。（解设）y=(80+x)(384-4x)（根据题意列式）=-4x2+64x+30720（化为一般式）答：每天增加8台机器总产量最大，最大产量是30976件。三、最大面积问题1、把一根长10m的铁丝围成一个矩形，矩形的长为多少时面积最大？最大面积是多少？此时矩形是什么？解设长为xm，则宽为（5-x）m。矩形的面积为ym2y=x（5-x）=-x2+5xx=2.5时，y有最大值6.25答：当x=2.5m，y有最大值6.25m2。此时矩形是正方形。2、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,怎么作图才能使矩形面积最大,最大是多少?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.设矩形的一边AB=xm,矩形的面积为ym2。四、实际问题（喷泉问题）1、如图，某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形的水平距离xm与高度ym之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.求水流落地点D与底部A的距离。分析：求水流落地点D与底部A的距离，就是求点D的横坐标。解:将B(0,1.2)代入y=a(x-4)2+2得a=-0.05.所以y=-0.05(x-4)2+2设y=0，得-0.05(x-4)2+2=0解得2、桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25).设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.总结理解二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0的根情况之间的关系。提醒：b2-4ac>0图像与x轴有两个交点。