数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若令，则令，则令，则从而解得令，则故成立。令，则故此时，故具有3次代数精度。（2）若令，则令，则令，则从而解得令，则故成立。令，则故此时，因此，具有3次代数精度。（3）若令，则令，则令，则从而解得或令，则故不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。（4）若令，则令，则令，则故有令，则令，则故此时，因此，具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：解：复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为复化梯形公式为复化辛普森公式为3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。证明：柯特斯公式为令，则令，则令，则令，则令，则令，则令，则因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。4。用辛普森公式求积分并估计误差。解：辛普森公式为此时，从而有误差为5。推导下列三种矩形求积公式：证明：两边同时在上积分，得即两边同时在上积分，得即两连边同时在上积分，得即6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不超过？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分？解：采用复化梯形公式时，余项为又故若，则当对区间进行等分时，故有因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为又若，则当对区间进行等分时故有因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为又且又即计算值比准确值大。其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒让德公式计算积分解：令，则用的高斯—勒让德公式计算积分用的高斯—勒让德公式计算积分10地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是这是是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。解：从而有。01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646即人造卫星轨道的周长为4870811。证明等式试依据的值，用外推算法求的近似值。解若又此函数的泰勒展式为当时,当时,当时,由外推法可得n32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故12。用下列方法计算积分，并比较结果。(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解(1)采用龙贝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式时此时令则利用三点高斯公式，则利用五点高斯公式，则(3)采用复化两点高斯公式将区间四等分，得作变换，则作变换，则作变换，则作变换，则因此，有13.用三点公式和积分公式求在，和1.2处的导数值，并估计误差。的值由下表给出：x1.01.11.2